1. Функции. Основные определения и свойства. Способы задания. Классификация.

Вещественные функции вещественного аргумента делят на два класса: элементарные и не элементарные. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой , где– выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.Основными элементарными функциями называются следующие функции:

1. степенная функция , гдеR;

2. показательная функция , гдеи;

3. логарифмическая функция , гдеи;

4. тригонометрические функции ,,,;

5. обратные тригонометрические функции ,,, .

Областью определения функции (выраженияf(x) ) называют множество всех значений x , для которых функция (выражение) имеет смысл.

Область определения функции обозначается какили.

Способы задания функции

1)Аналитический способ

Закон, устанавливающий связь между аргументом и функцией, задается посредством формул.

2)Табличный способ

Функцию можно задать, перечислив все её возможные аргументы и значения для них.

3)Графический способ

Функцию можно задать графически, отобразив множество точек её графика на плоскости.

Обратная функция Обратная функция, функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией. Так, еслиу = f (x) — данная функция, то переменная х, рассматриваемая как функция переменной у, х = j (y), является обратной по отношению к данной функции у = f (x). Например, О. ф. для у = ax + b (а¹0) является х = (у—b)/a.

Сложная функция Сложная функция, функция от функции. Если величина y является функцией от u, то есть у = f (u), а u, в свою очередь, функцией от х, то есть u = j(х), то у является С. ф. от х, то есть y = f [(x)], определённой для тех значений х, для которых значения j(х) входят в множество определения функции f (u). В таком случае говорят, что у является С. ф. независимого аргумента х, а u — промежуточным аргументом. Например, если у = u2, u = sinx, то у = sin2х для всех значений х.

2. Предел функции точке. Односторонние пределы.

Предел функции в точке

Пусть задано некоторое числовое множество и каждомупоставлено в соответствие число, тогда говорят, что на множествезадана функция,.

Определение предела функции по Коши

Определение

Число называетсяпределом функции в точке , если длятакое, что дляиз того, чтоследует, что:илипри.

Односторонние пределы

Определение

Односторонний предел — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левым и правым пределами.

Левый и правый пределы функции

Определение

Число называетсяправым пределом функции в точке , если длятакое, что для любогои, выполняется неравенство(рис. 1). Правый предел обозначается

Число называетсялевым пределом функции в точке , если длятакое, что для любогои, выполняется неравенство(рис. 2). Левый предел обозначается

Левый и правый пределы функции называются односторонними пределами.

Теорема

Если существуют и, причем, то существует и. Обратное утверждение также верно.

В случае, если , то пределне существует.

3. Предел функции в точке. Предел на бесконечности. Первая часть в предыдущем вопросе.