Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Задачник / Глава 12,13(323-357)

.pdf
Скачиваний:
157
Добавлен:
20.12.2017
Размер:
945.61 Кб
Скачать

Глава 12 Искусственное регулирование усилий в элементах статически неопределимых систем

12.1 Общее понятие о предварительно напряженных конструкциях. Примеры

Искусственное регулирование (перераспределение) усилий в элементах статически неопределимых систем широко используется при расчете и строительстве ответственных сооружений. Такие конструкции называют предварительно напряженными. Рассмотрим простые примеры, которые позволят составить представление о целесообразности применения подобных конструкций.

Из теории мы знаем, что усилия в элементах статически неопределимых систем зависят от соотношения жесткостей, от неточности изготовления тех или иных стержней, от изменения температуры и прочих факторов. Известно также, что элементы статически неопределимых систем, как правило, не равнопрочны, т. е., если в одних элементах напряжение достигло допускаемой величины, то в других оно оказывается меньше и эти элементы работают с недогрузкой.

Именно эта особенность статически неопределимых систем и позволяла при использовании расчета по предельной нагрузке вскрыть дополнительный запас прочности статически неопределимой системы – увеличить несущую способность или сэкономить материал, выбрав меньшее сечение. Однако достигался этот эффект все же за счет перегрузки наиболее нагруженных стержней, напряжения в опасных сечениях которых становились больше допускаемых и могли даже достигать предела текучести. Именно поэтому расчет по предельной нагрузке возможно применять с большой осторожностью и только к конструкциям из пластичного материала, имеющего площадку текучести. Забывать это не следует.

Добиться равнопрочности элементов статически неопределимых систем или, по крайней мере, приблизиться к ней можно, применяя искусственные приемы регулирования усилий. Создадим предварительные напряжения, которые догрузили бы недонапряженные стержни и разгрузили наиболее нагруженные так, чтобы напряжения во всех стержнях стали равными допускаемым. При таком проектировании конструкции она становится максимально экономичной, все элементы ее оказываются работающими в пределах упругости, напряжения не выходят за пределы допускаемых и отпадает требование к материалу конструкции, чтобы он имел площадку текучести.

323

12.1.1 Регулирование усилий в элементах шарнирностержневых систем

Пример 12.1.1. Определить несущую способность системы, использовав искусственное регулирование усилий в стержнях системы (рис. 12.1). а = 1,5 м; b = 3 м; с = 4 м; h = 2 м; 60 ; А = 10 см2; материал стерж-

ней 1 и 2 – сталь; E 2 105 МПа; 160 МПа; стержень – абсолютно жесткий.

 

 

b

1

h

 

 

 

а

 

 

 

A

 

 

 

 

D

 

 

 

В

 

 

 

 

 

2A

 

h

F

 

2

c

 

 

 

Решение.

Без применения искусственного регулирования усилий в стержнях несущая способность этой системы была рассчитана выше (см. пример 11.1.4).

По допускаемым напряжениям было получено F 252 кН,

а усилия в стержнях от силы F

 

Рис. 12.1

N2F 2Fbasin

2

 

0,357F ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2 2a2 sin3

 

где знак минус учитывает то, что усилие N2F – сжимающее;

 

 

 

N1F

 

Fbс

 

0,635F .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c2

2a2 sin3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наиболее нагружен первый стержень, и из условия его прочности

найдена F

. Напряжение во втором стержне 2 45 МПа оказалось

значительно меньше допускаемого.

Зададимся целью заставить в данной конструкции второй стержень работать в полную силу. Для этого надо уменьшить растягивающее усилие в первом стержне и увеличить сжимающее усилие во втором стержне. Эту цель можно достигнуть, сделав, например, первый стержень несколько длиннее (на величину ), чем это требуется из геометрических соображений. Тогда при монтаже конструкции стержни 1 и 2 окажутся предварительно сжатыми. При приложении нагрузки F стержень 1 будет сначала разгружаться до нуля и только потом растягиваться, а стержень 2 (предварительно сжатый) будет продолжать нагружаться на сжатие. Таким образом, можно так подобрать , чтобы напряжения и в первом, и во втором стержнях стали в итоге равными допускаемому.

324

При

расчете

применим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

принцип независимости дейст-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

вия сил. В дополнение к уже

 

 

 

 

 

 

 

 

h

 

рассмотренному

 

 

состоянию

 

 

 

 

а

 

 

 

X1

A

системы,

находящейся

 

под

 

 

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

воздействием только силы F,

 

 

 

 

 

 

 

 

В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рассмотрим ту же систему, но

 

 

 

2A

h

 

 

 

X1

загруженную монтажными на-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

пряжениями, возникшими

от

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

того, что стержень 1 имеет ис-

 

 

 

 

 

 

с

 

 

 

ходную длину на

 

больше

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(см. рис. 12.2). Основную сис-

 

 

 

 

 

Рис. 12.2

 

 

 

тему выбираем с разъединен-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ным узлом В, «лишняя» неизвестная Х1 – усилие в этом узле. Расчет про-

изведем по методу сил в канонической форме:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X1 11 1F 0 ,

 

 

 

 

 

где 1F ; усилия в стержнях от единичного значения «лишней» неиз-

вестной N1 1 ;

 

N2

 

c

 

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11

 

2

 

N

2l

 

 

1 1 h

 

 

c2h

 

 

 

 

 

 

 

n n

 

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

 

 

n 1 En An

 

EA

2a2EAsin3

 

 

 

 

X

 

N

 

 

 

 

 

2a2EAsin3

 

;

 

 

1

 

1F

c2

2a2 sin3

 

 

 

 

1

 

 

11

 

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2acEAsin2

 

 

N2 X1 N2

 

 

 

.

h

c2 2a2 sin3

 

 

 

 

 

 

Окончательная величина усилий в стержнях 1 и 2 от монтажных напряжений и заданной нагрузки F:

N1

N1F N1

 

 

 

 

Fbc

 

 

 

 

2 a2EAsin3

 

;

 

c2

2a2 sin3

h

 

c2 2a2 sin3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N2 N2F N2

 

 

2Fabsin2

 

 

 

 

2 acEAsin2

 

 

;

 

c2 2a2 sin3

 

h c2

2a2 sin3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

Fbch 2 a2EAsin3

 

;

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

Ah c2 2a2 sin3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

325

 

2

 

 

 

 

 

2Fabhsin2 2ac EAsin2

.

 

 

 

N2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2A

 

 

 

2hA c2 2a2 sin3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Напряжения в стержнях 1 и 2 из условия их равнопрочности прирав-

ниваем . В силу равенства правых частей равенств для 1

и 2 при-

равниваем левые части и после сокращения на неравный нулю делитель и

группировки слагаемых получаем:

 

 

 

 

 

Fhb asin2 c c 2asin aEAsin2 ;

 

 

 

 

F

aEAsin2 c 2a sin

.

 

 

 

 

 

 

 

bh c a sin2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляем это соотношение в выражение для 1 и решаем его от-

носительно :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h c a sin2

 

160 2 4 1,5sin2 60

 

4,089 10 3

м.

 

aE sin2

 

1,5 2 105 sin2 60

 

 

 

 

 

Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F 4,089 10

3 1,5 2 105 10 10 4 sin2 60 4 2 1,5sin 60

 

 

 

 

3 2 4 1,5sin2 60

 

 

 

 

 

 

 

 

351,9 кН.

Итак, если сделать стержень 1 на 4,089 мм длиннее и смонтировать конструкцию с предварительными напряжениями, то к ней можно приложить нагрузку 351,9 кН – на 39,64% больше, чем при расчете тоже по допускаемым напряжениям, но без искусственного регулирования усилий. При этом обращаем еще раз внимание на то, что материал стержней здесь работает в чисто упругой стадии, напряжения в обоих стержнях оказываются одинаковыми и равными 160 МПа. Экономический эффект по-

лучился при применении искусственного регулирования усилий точно такой же, как и при использовании расчета по предельной нагрузке (см. пример 11.1.4), когда напряжение в стержне 1 оказывается значительно выше допускаемого и почти достигает предела текучести, что не может не беспокоить проектировщика.

12.1.2 Регулирование усилий в неразрезных балках

Пример 12.1.2. Рассмотрим три варианта двухпролетной балки (рис. 12.3): разрезную, неразрезную, неразрезную с искусственным регулированием усилий. Найдем требуемые моменты сопротивления сечений и сравним их между собой.

326

F

l/2

l

F

F

l

Рис. 12.3

Решение.

а) Расчет разрезной балки по допускаемому напряжению.

Эпюра моментов для этого варианта балки показана на рисунке 12.4.

Тогда

W

M max1

 

Fl

.

x1

 

 

4

 

 

 

 

 

F

Эп. М

Fl4 M max1

Рис. 12.4

б) Расчет неразрезной балки по допускаемому напряжению

(рис.12.5, а).

Балка один раз статически неопределима. Основная система и эпюра МF показаны на рисунке 12.5, б, в. Для расчета применим уравнение трех

моментов:

 

 

M0l 2M1 2l M 2l 6

 

F a

 

;

 

 

l

327

4M1l 6

 

Fl2l

 

M1

3

 

 

 

;

32

Fl .

 

 

 

8 2l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

0,5l

F

 

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

l

 

 

б)

М0=0

 

F

М

 

 

М2=0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а

 

 

 

 

Эп. МF

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fl

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

3

 

Эп. М

 

 

 

 

 

32 Fl

 

 

г)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

13 Fl M max 2

 

 

 

 

 

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 12.5

 

 

 

Строим эпюру опорных моментов, суммируем ее с эпюрой МF и получаем результирующую эпюру моментов (рис. 12.5, г).

В этом случае

W

 

Mmax 2

 

13Fl

;

 

Wx1

 

64

 

16

1, 23.

 

64

 

 

 

x2

 

 

 

Wx2

 

13 4 13

 

 

 

 

 

 

 

Еще лучшего эффекта можно достигнуть, если уменьшить наибольший изгибающий момент в пролете за счет увеличения момента над средней опорой.

в) Расчет неразрезной балки с использованием искусственного регулирования усилий (рис. 12.6, а).

Чтобы увеличить момент над средней опорой и уменьшить тем самым момент в левом пролете (рис. 12.6, б), надо сместить промежуточную опору вверх на некоторую величину (рис. 12.6, в, г) так, чтобы моменты в пролете и над опорой в конечном итоге при суммировании эпюр МF и МХ (рис. 12.6, б, г) стали равными по величине. Это позволит найти величину необходимых и Х:

328

 

 

3

Fl Xl

 

13 Fl Xl

,

 

 

32

2

 

64

4

 

отсюда X

7

F , тогда прогиб в середине балки

 

 

48

 

 

 

 

 

 

 

 

X 2l 3

 

Xl3

7Fl3 .

 

 

 

48EI

6EI

288EI

 

 

 

F

 

 

 

 

 

 

а)

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5l

 

 

 

 

 

 

 

l

 

 

l

 

 

 

 

 

 

3

Fl

 

 

 

 

Эп. М

 

32

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

 

 

 

 

 

 

 

 

13 Fl

 

 

 

 

 

64

 

 

 

 

 

в)

 

 

 

 

 

 

 

 

Xl

X

 

 

 

 

 

 

Эп. МX

 

 

 

г)

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fl

 

 

 

Эп. Мрег

6

д)

-

 

 

 

+ Fl

6

F

Рис. 12.6

Наибольшие моменты в пролете и над средней опорой становятся равными:

Mmax

3

Fl

Xl

 

3

Fl

7Fl

 

1

Fl ;

32

2

32

48 2

6

 

 

 

 

 

 

329

 

13

 

Xl

 

13

 

7

1

 

Mmax

 

Fl

 

 

 

 

 

Fl

 

Fl .

64

4

64

 

6

 

 

 

 

48 2

 

Эпюра моментов показана на рисунке 12.6, д.

W

 

 

M max

 

Fl

 

 

;

 

 

 

 

 

 

6

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wx2

 

 

13 6

1,22

;

 

 

 

Wx3

 

64

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wx1

 

 

 

6

 

1,5 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Wx3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, момент сопротивления сечения балки при использовании искусственного регулирования усилий оказался на 22% меньше, чем в неразрезной балке без предварительного напряжения, и в 1,5 раза меньше, чем в разрезной балке.

Глава 13 Устойчивость сжатых стержней

13.1 Теоретическая и методическая информация. Примеры

13.1.1 Основные понятия и расчетные формулы

Сжатые стержни часто выходят из строя, становятся непригодными к эксплуатации не из-за разрушения материала, а при значительно меньших нагрузках, при которых происходит переход от устойчивой прямолинейной формы равновесия к неустойчивой прямолинейной или устойчивой криволинейной форме стержня. Величина нагрузки, при которой происходит явление потери устойчивости, называется критической силой Fкр. Величина критической силы зависит от гибкости стержня :

l ,

imin

где – коэффициент приведенной длины, зависящий от способа закрепления стержня (рис. 13.1);

imin – минимальный радиус инерции поперечного сечения;

Fкр кр A ,

кр – критическое напряжение;

A – площадь поперечного сечения сжатого стержня.

330

Критическое напряжение определяется по-разному, в зависимости от гибкости стержня:

0 0 ;

 

кр

т

или

кр в ;

 

 

;

 

кр

a b c 2 – формула Ясинского;

0

пр

 

 

 

 

 

 

 

пр ;

 

 

кр

2 E

; Fкр

 

2 EI

min

– формула Эйлера;

 

 

 

 

 

 

2

l

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a, b, c – коэффициенты в формуле Ясинского, имеющие размерность напряжений и зависящие от прочностных характеристик материала;

0 – гибкость стержня, до которой стержень разрушается при сжатии без признаков потери устойчивости;

т и в – предел текучести и временное сопротивление материала стержня.

F

F

 

F

F

 

=l

 

l

=0,7l

0,5=l

 

l

l

l

l

пр

 

 

пр

 

 

 

 

 

 

пр

 

 

 

 

 

l

 

 

 

 

l

0,7

0,5

1

=2

 

 

 

 

 

пр

 

 

 

 

 

l

 

 

2

Рис. 13.1

Формулой Эйлера можно пользоваться только при кр пц .пц – предел пропорциональности материала. Гибкость стержня, соответствующая кр пц , называется предельной,

331

E .

пр

пц

 

В таблице 13.1 приведены значения 0 , пр , коэффициенты a, b, c,

модули упругости Е и механические характеристики прочности (пределы пропорциональности пц и текучести т , временное сопротивление в )

для некоторых материалов.

Формула Ясинского применяется для определения критического на-

пряжения

при пц

кр

т

– в

случае

пластичного

материала;

пц кр

в – в случае хрупкого материала.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т а б л и ц а

13.1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Материал

 

0

пр

a

b

c

 

E 10 5

пц

т

 

в

 

 

 

 

 

МПа

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ст.2, Ст.3

 

40

100

267

0,667

0

 

2

200

240

 

450

Ст.45

 

35

85

382

1,2

0

 

2

280

320

 

610

Чугун

 

0

80

780

12

0,056

 

1,2

180

 

780

Дерево

 

0

70

40

0,286

0

 

0,1

20

 

40

(сосна

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вдоль волокон)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Расчет на сжатие с учетом устойчивости производится по формулам:

 

Nmax

 

;

 

 

,

 

y

 

 

y

 

 

 

A

где y – допускаемое напряжение на устойчивость;

– коэффициент понижения основного допускаемого напряжения ( 0 1), зависит от гибкости и от упругих и прочностных

характеристик материала. Чем больше гибкость стержня, тем меньше коэффициент .

Коэффициент в зависимости от гибкости стержня и материала определяется по таблице, приведенной в приложении 4.

Для подбора сечения A сжатого стержня надо знать y , а значит и коэффициент , но в свою очередь зависит от геометрических разме-

ров стержня, в том числе и от формы и размеров площади сечения. Поэтому задачу по подбору сечений сжатых стержней решают методом последовательных приближений.

Рациональная форма поперечного сечения сжатого стержня определяется условием, чтобы гибкость стержня max была как можно меньше

332

Соседние файлы в папке Задачник