Задачник / Глава 12,13(323-357)

Подсчеты показали, что рассмотренные варианты формы сечений размещаются в порядке возрастания их эффективности следующим обра-

зом (табл. 13.2).

Т а б л и ц а 13.2

В рациональном поперечном сечении сжатого стержня материал должен быть по возможности удален от центра тяжести всего сечения. При конструировании вариантов поперечного сечения сжатого стержня из одинаковых элементов, например прямоугольников, двутавров, швеллеров, уголков и т. д., часто получаются центрально-симметричные циклические фигуры (рис. 13.9). Для таких и подобных им сечений, составленных из трех и более элементов, эллипс инерции оказывается кругом, а любая ось,

343

344

x0, y0 – оси, проведенные через центр тяжести составляющего элемента сечения (например, параллельно его сторонам);

Ix0, Iy0 – осевые моменты инерции относительно осей го элемента;

a – кратчайшее расстояние (по перпендикуляру) от центра тяжести всего сечения до оси x0, проходящей через центр тяжести составляющего элемента;

с – кратчайшее расстояние от центра тяжести отдельного элемента сечения до упомянутого выше перпендикуляра к оси x0, вдоль которого измерялась координата а (рис. 13.9, е, з). Если центр тяжести составляющего элемента лежит на упомянутом перпендикуляре, то с = 0 (рис. 13.9, а, б, в, г, д, ж).

Если ось i является осью симметрии составляющей фигуры, то с = 0. Так как Ix0 + Iy0 = const есть первый инвариант моментов инерции при повороте осей, то эту сумму можно находить как сумму осевых моментов инерции составляющей фигуры относительно любых взаимно ортогональных осей (не обязательно x0, y0), проходящих через центр тяжести элемента.

13.1.5 Продольно-поперечный изгиб гибкого стержня

Требуется определить наибольшее напряжение и перемещение в опасном сечении стержня, загруженного сжимающей силой F и поперечной нагрузкой. Эта задача имеет точное решение, но во многих практических случаях можно применить более простой приближенный метод расчета, заменив действительное очертание изогнутой оси приближенным, например синусоидальным. При этом должны быть соблюдены условия на опорах и местоположение наибольшего прогиба должно соответствовать грузовой схеме.

Ограничимся в дальнейшем рассмотрением двухопорного сжатого стержня без консолей, с произвольной, но однообразно направленной (не близкой к кососимметричной) поперечной нагрузкой (рис. 13.10). Дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня имеет вид:

где М0 – изгибающий момент только от поперечной нагрузки.

345

где f – прогиб в середине пролета (от продольной и поперечной нагру-

зок).

Решая уравнение (1), находим:

346

Видим, что напряжения растут быстрее, чем нагрузки (рис. 13.11). Коэффициенты запаса по нагрузке и по напряжению оказываются разными. Принцип независимости действия сил нарушен.

Следует обратить внимание на то, что в формулах (7)–(9) коэффициенты запаса по прочности и жесткости приняты одинаковыми.

Пример 13.1.6. Для балки, изображенной на рисунке 13.12, требуется определить коэффициент запаса прочности по отношению к пределу текучести, если т 380 МПа; F1 = 20 кН; F = 450 кН; а = 1,5 м;

l = 7 м; E 2 105 МПа. Сечение из двух швеллеров №30, соединенных жестко.

Рис. 13.12

347

Решение. По сортаменту для швеллера №30: Aш = 40,5 см2; Iу0 = 327 см4; z0 = 2,52 см; b = 10 см.

Находим геометрические характеристики составного сечения:

A 2Aш 2 40,5 81 см2 ;

Ix 2[I y0 Aш b z0 2 ] 2[327 40,5 10 2,52 2 ] 5186 см4;

Wx Ibx 518,6 см3.

Определяем эйлерову критическую силу:

Fэ 2EIx / l2 ;

2 2 105 103 5186 10 8

Fэ 2089 кН. 72

Максимальный момент от поперечной нагрузки

M0,l2 F1a 20 1,5 30 кНм.

Приближенное значение прогиба от поперечной нагрузки в середине пролета по формуле (4)

55,56 57,85 15,88 129,3 МПа.

По формуле (7), приняв пр т , найдем коэффициент запаса k1 по

нагрузке. k1 показывает, во сколько раз надо увеличить приложенные нагрузки, чтобы напряжение достигло предельного значения т .

348