Добавил:

turbo1121 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Петербургский государственный университет путей сообщения им. императора Александра I

Предмет:

Сопротивление материалов

Файл:

Задачник / Глава 12,13(323-357)

.pdf

Скачиваний:

157

Добавлен:

20.12.2017

Размер:

945.61 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

а = 310 МПа; b = 1,14 МПа;

при минимальном расходе материала. Кроме того, гибкости стержня в разных плоскостях должны быть одинаковыми, т. е. max min .

13.1.2 Критическая и допускаемая нагрузки для сжатых стержней

Пример 13.1.1. Определить критическую силу, допускаемую нагрузку и коэффициент запаса устойчивости для стойки, изображенной на рисунке 13.2. Поперечное сечение – два швеллера № 20, длина l = 7,5 м, основное допускаемое напряжение по условию прочности 160 МПа. Определить

шаг поперечных связей между швеллерами, устанавливаемых для обеспечения совместной работы обеих ветвей сечения.

Решение.
Определим максимальную гибкость стойки:				F
Определим максимальную гибкость стойки:
		l
	max		.


		imin
		imin

В данном случае коэффициент приведенной длины 0,7.

Найдем моменты инерции сечения Ix и Iy:
Ix 2Ixш ;	I y 2	I yш Aшa2	;
a b z0 ;		A 2Aш ;

из сортамента для швеллера № 20:

I	xш	1520 см4	;	I	yш	113 см4	;
	xш				yш

b 76

мм ;

z 2,07 см ;

A 23, 4 см2 ;

I x 2 1520 3040 см4;

2 [113 23,4 7,6 2,07 2 ] 1657,2 см4;

I y

Ix ;

imin

I y / A

1657,2 / 2

23,4 5,95

см;

max

0,7 750

88,2 .

Рис. 13.2

imin

5,95

Для стали пр 100 ; 0 60 .

Так как 60 max 100, то для определения критического напряжения необходимо воспользоваться формулой Ясинского:

Fкр A a b max , где

333

Fкр 2 23, 4 310 1,14 88, 2 103 10 4 980 кН.

Определяем допускаемую нагрузку:

F A.

По таблице в приложении 4 путем интерполяции находим коэффициент снижения основного допускаемого напряжения :

1 80 ; 1 0,752 90 ; 2 0,69 ;

при max 88,2
	1	2			0,75			0,06	8,2 0,701.
	1	2		max	0,75				8,2 0,701.
1	2	1		max	1		10
	2	1					10
Тогда F A 0,701 160 103 2 23, 4 10 4									524,8 кН.
Коэффициент запаса устойчивости
				Fкр	980
		n					1,87 .
		n	F			524,8	1,87 .

Расчет произведен из условия, что сечение из двух швеллеров работает как единое целое. Связи между швеллерами надо разместить так, что-

бы обеспечить равную гибкость отдельной ветви (одного швеллера) в и всего стержня в целом (рис. 13.3):

Fкр

в max ;

вl1

imin,в

где l1 – расстояние между связями;

в – коэффициент приведенной длины

одной ветви; можно принять в = 1;

imin,в – минимальный радиус инерции

одной ветви сечения.

В нашем случае из сортамента для

швеллера №20:

imin,в

iy 2, 20 см;

max imin,в

88, 2 2, 20

194 см.

Следовательно,

рассчитываемой

Рис. 13.3

стойке можно поставить по длине четыре

поперечные связи на равном расстоянии друг от друга:

334

l1 4l 7504 187,5 см < 194 см.

Пример 13.1.2. Для заданной стойки (рис. 13.4) найти величины критической силы Fкр, допускаемой нагрузки F , коэффициента запаса ус-

тойчивости n FFкр .

l = 5 м; b = 15 см; = 10 МПа; E 0,1 105 МПа.
F	Решение. Сечение имеет ось симметрии x; ось y
	перпендикулярна к оси x и проходит через центр тяже-
	сти сечения; x, y – главные оси инерции сечения. Нахо-
	дим положение центра тяжести сечения по отношению к
	оси x0 (рис. 13.5):

	y	Ai yci	30 15 15 15 15 7,5		12,5 см.

l	c	Ai	30 15 15 15

		Главные центральные моменты инерции относи-
	тельно осей x, y найдем, представив сечение в виде раз-
	ности двух квадратов АВСD и EFCG:
		для АВСD I I	I I	2b 4 67500 см4;
		x	y1	12

		Дерево	для EFСG I xII I yII2			b	4
b			для EFСG I xII I yII2			b	4218,75		см4;
b				b yc		12
х	b	b y	a	b yc	15 12,5			3,54	см;
х	b	b y	1	cos 45		cos 45
				cos 45		cos 45

Рис. 13.4

bcos 45 3,54 15 cos 45 14,14 см;

I I

I II

2b 4

5b4

63281,25 см4;

I I

I II I I

AIa2

I II

AIIa2

67500 30 30 3,542 4218,75 15 15 14,142

21480,84 см4;

A AI AII 302 152 675см2;

I y

21481

5,64 см;

min

675

335

max

1 500 88,6 .

imin

5,64

Согласно данным таблицы 13.1,

max

88,6 пр

(для дерева).

Следовательно, кр и Fкр найдем по формуле Эйлера:

2 E

0,1 105

кр

2max

88,62

12,56 МПа;

кр

675 10 4 12,56 103 848 кН.

кр

а 1

а 2

yС

х0

Рис. 13.5

Найдем допускаемую нагрузку F A. По таблице (прил. 4)

путем интерполяции получаем при 88,6:

80;

0,38

0,38 0,31

8,6

0,3198,

90;

0,31

тогда

F 0,3198 10 103 675 10 4

215,87 кН.

Коэффициент запаса устойчивости

Fкр

848

3,93.

215,87

336

13.1.3 Подбор сечения сжатых стержней

Пример 13.1.3. Подобрать двутавровое сечение сжатой стойки, изображенной на рисунке 13.6.

F = 170 кН; l = 2 м; = 160 МПа.

Решение. Условие устойчивости F / A решается при

подборе сечения, как уже отмечалось выше, методом последовательных приближений.

Первый подбор: так как может изменяться от 0 до 1, то зададимся

первым значением 1 =0,5. Тогда
A		F			170 104			21, 25 см2.
	1
1				0,5 160 103

Принимаем двутавр № 18: A = 23,4 см2; Iy = 82,6 см4; iy = 1,88 см.
Определим гибкость стержня:
			l			2 200	212,8.
		max
			imin		1,88

Как видно из таблицы в приложении 4, такой большой гибкости в ней нет, т. е. при этом слишком мало.

Принимаем новое значение .

Второй подбор: 1 =0,35;
A		F		170 10		30,35 см2.
	2
2				0,35 160

Принимаем двутавр № 22: A = 30,6 см2; Iy = 157 см4;
iy = 2,27 см.			l		2 200
						176,2 ;
	max
			imin	2,27

по таблицам определяем коэффициент :

170	0, 26	3 0,26	0, 26 0, 23	6,2	0,214 .
180	0,23
			10

Допускаемое напряжение на устойчивость

y 3 0,214 160 38,62 МПа. Действующее напряжение

Рис. 13.6

337

	F	170 10 3	55,55 МПа >	.
д		30,6 10 4
	A		y

Перенапряжение велико, сечение следует увеличить. Третий подбор: примем двутавр № 27:

A = 40,2 см2; Iy = 260 см4; iy = 2,54 см.

Вычисляем гибкость:

								2 200		157,5 .
					max			2,54		157,5 .
					max

По таблицам этой гибкости соответствует коэффициент 4 :

150		0,32					4	0,32			0,03	7,5 0,298 .
											0,03
160		0,29									10
160		0,29									10
Действующее напряжение сравним с допускаемым на устойчивость:
y			4 0,298 160 47,6 МПа ;
				F		170 10			42,29 МПа <				.
	д								42,29 МПа <				.
	д			A		40,2						y
				A		40,2

Недонапряжение 11,2% – используя сортамент ГОСТ 8239-89 большего приближения достигнуть нельзя.

		F
l
y0	y	b
y0	y
		h
а		а

Рис. 13.7

Пример 13.1.4. Подобрать сечение стойки, составленной из трех брусков, защемленной обоими концами (рис. 13.7). F = 80 кН; l = 5 м; материал стойки – дерево; = 10 МПа; соотношение сто-

рон брусков h/b = 5. Определить расстояние а, на котором целесообразно расположить бруски.

Решение.

Брусья надо расположить так, чтобы Ix = Iy.

Тогда

bh3

0,25b 5b 3 31,25b4 ;

A 3bh 15b2 ;

31, 25b4

1, 443b .

15b2

Первый подбор: задаемся 1 =0,5;

338

A		F		80 10			160 см2;
	1
1				0,5 10


b			A1		160	3, 27 см;

1		15		15

ix1 1,443b1 1,443 3,27 4,71 см.

Определяем гибкость:

1 l 0,5 500 53,08. ix1 4,71

По таблицам находим 2 , соответствующее 1 :

50	0,80					2						0,80						0,80 0,71				3,08		0,772 .
60	0,71
																			10
																			10
Допускаемое напряжение на устойчивость
	y 2								0,772 10 7,72 МПа
сравниваем с действующим:
						F				80 10							5 МПа <						.
		д															5 МПа <						.
		д				A					160											y
						A					160
Получили большое недонапряжение.
Второй подбор: принимаем															3	2			1 0,635;
															3				2
																			2
	A					F									80 10						126 см2;
	A			3																	126 см2;
	2												0,635 10
													0,635 10

		b						A2								126			2,9 см;
		b																	2,9 см;
			2				15									15
							15									15
	ix2 1,443b2											1,443 2,9 4,18 см.
Находим гибкость:
					l									0,5 500						59,78 .
			2		l															59,78 .
			2				ix2									4,18
							ix2									4,18

Этой гибкости по таблицам соответствует 4 :

50	0,80	4 0,80	0,80 0,71	9,78	0,712 .
60	0,71
			10

339

Допускаемое напряжение на устойчивость

y 4 0,712 10 7,12 МПа .

Действующее напряжение

д F 80 10 6,35 МПа < y . A 126

Получили недонапряжение, продолжим подбор сечения.

Третий подбор: принимаем	5	4 3	0,674 ;
	5	2
		2

A	80 10	118,8 см2;

3	0,674 10

			b	A3		118,8	2,81 см;
			b				2,81 см;
			3	15	15
				15	15
i		1,443b	1,443 2,81 4,06 см;							0,5 500	61,57 .
i	x3	1,443b	1,443 2,81 4,06 см;								61,57 .
	x3	3						3	4,06
									4,06

По таблицам находим 6 :


60	0,71			6		0,71		0,71 0,61		1,57 0,694;

70	0,61
							10
			y 6 0,694 10 6,94 МПа;
					F		80 10		6,73 МПа <			.
			д
						A	118,8				y
		и y
Так как д						достаточно близки, то дальнейший подбор сече-

ния можно прекратить и принять его в виде трех брусков с размерами 2,80 14,10 см каждый.

Определяем оптимальное расстояние между осями брусков из условия равенства главных центральных моментов инерции I x I y :

I		31,25b4 ; I			hb3	3 2bha2	1,25b4 10b2 a2 ;
	x		y
				12

		31,25b4 1,25b4 10b2a2 ;					a2 3b2 ;

a b3 2,8 3 4,87 см.

Определим шаг поперечных связей для скрепления брусков между собой. Для этого надо обеспечить равенство гибкости одной ветви и всего

стержня: в .

340

Imin

в	l1		61,57 ;			imin,в		iуо	b	;
	imin,в
									12
									12
l		61,57 b		61,57			2,81	50 см.
l								50 см.
1			12		12
			12		12

Скрепления по высоте надо поставить с шагом 50 см.

13.1.4 Выбор наиболее рациональной формы сечения сжатого стержня

Пример 13.1.5. В примере 13.1.4 бруски в сечении были размещены параллельно. Было найдено расстояние между ними, при котором обеспе-

чивается условие I x I y , т. е. эллипс инерции обращается в окружность.

Зададимся вопросом: нельзя ли те же три бруска разместить в сечении както иначе и тем самым повысить несущую способность сжатого стержня?

Примем условие, что бруски должны соприкасаться друг с другом сторонами или точками для возможности обеспечения их совместной работы. Исследуем этот вопрос.

Решение. Чтобы повысить устойчивость стержня, его несущую способность, надо уменьшить его гибкость, а этого можно достичь увеличением минимального радиуса инерции поперечного сечения. Если не менять размеры брусков, подобранных в примере 13.1.4, то наиболее рациональ-

ным их расположением будет такое, при котором станет возможно больше. Рассмотрим различные варианты сечений, которые можно составить из трех прямоугольников. Они изображены на рисунке 13.8. Оси x и y

– главные центральные.

341

а)		б)		в)			г)
h	х		х			х		х
h

c	c	c	c
	y		y		y			y
								y
д)		е) 13 h b	16 h b	ж)			з)
								х
	х						х	а
			х				х

							а
							а
	y	y			y			y

Рис. 13.8

Сосчитаем Imin для каждого из вариантов сечения, учитывая, что h/b = 5:

а) I

h 3b

2, 25hb3

11, 25b4 ;

y,a

б) I

3bh3

31, 25b4 ;

y,б

x,б

в) I

bh3

h 2b 3

125b4

40b4

13,75b4 ;

y,в

г) I

2bh3

hb3

250b4

5b4

21, 25b4 ;

y,г

д) I

y,д

y,г

21, 25b4 ;

2bh3

hb3

h b 2

е) I y,е

2bh

250b4

5b4

20b4 10b4

51,25b4 ;

342

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Задачник

#
20.12.20171.44 Mб127Глава 07(156-208).pdf
#
20.12.2017573.57 Кб87Глава 08 (209-222).pdf
#
20.12.20171.14 Mб124Глава 09 (223-253).pdf
#
20.12.20171.52 Mб117Глава 10 (254-297).pdf
#
20.12.2017749.61 Кб87Глава 11 (298-322).pdf
#
20.12.2017945.61 Кб157Глава 12,13(323-357).pdf
#
20.12.2017757.28 Кб87Глава 14 (358-377).pdf
#
20.12.2017490.24 Кб84Глава 15 (378-384).pdf
#
20.12.2017189.07 Кб95ЛИТЕРАТУРА (385,386).pdf
#
20.12.2017243.07 Кб84Приложение1,2 (387,388).pdf
#
20.12.2017316.46 Кб87Приложение3(389-392).pdf