Задачник / Глава 09 (223-253)

i

NFj N

ijdz xjQxFjQxijdz

yjQyFjQyijdz

n

n

n

j 1 l

E j Aj

j 1 l

j

G j Aj

j 1 l

j

G j Aj

j

n

M xFj M xijdz

n

M yFj M yijdz

n

M kFj M kijdz

,

E j Ixj

E j I yj

j 1 l

j

j 1 l

j

j 1 l

j

G j I pj

ω

al / 2 ;

ω

bl / 2 ; ω

ql3 /12

,

F1

F 3

F 2

где q – распределенная нагрузка на данном участке стержня;

η

2

c

1

d ;

η

1

c

2

d ;

η

1

c

1

d .

1

3

3

3

3

3

2

2

2

9.1.2

Перемещения в шарнирно-стержневых системах

Пример 9.1.1. Найти полное перемещение нижнего узла двухстерж-

невой системы, изображенной на рис. 9.2, а.

70 ;

2

30 ;

h = 2 м;

F = 40 кН;

A1 = 1,3 см2;

A2 = 2,4 см2;

1

E 2 105 МПа.

Решение.

а)

l1 h / cos 1 2 / cos70 5,848м;

l2 h / cos 2 2 / cos30 2,309 м.

1

1

2 2

h

В шарнирно-стержневых системах с

нагрузкой, приложенной в узлах, все

F

элементы работают только на растя-

б)

жение–сжатие. Следовательно, в

формуле

Мора

ненулевым

будет

лишь один член:

1

2

n

NFj Nijdz

i

,

1

E j Aj

j 1 l

j

а так как в пределах каждого из

в)

стержней j жесткости Еj Aj

и про-

дольные силы

NFj , Nij остаются по-

1

2

стоянными, то выражение принимает

1

вид формулы Максвелла:

n

NFj Nijl j

Рис. 9.2

i

.

E j Aj

j 1

Изобразим

два

вспомогательных единичных

загружения

системы

(рис. 9.2, б, в). Затем найдем усилия в стержнях системы от заданной на-

грузки и от каждой из единичных сил в отдельности (рис. 9.3).

Рисунок 9.3, а:

а)

X 0 ;

NF1sin 1 NF 2sin 2

0 ;

1

2

NF2

NF1

х

NF1 NF 2

sin 2

;

sin

1

F

Y 0 ;

y

NF1cos 1

NF 2cos 2

F .

б)

Подставив NF1, выраженное через NF 2 ,

2

Nв2

N

1

находим:

в1

х

F

40

NF 2

1

sin 2

cos

2

sin30

cos30

y

tg 1

tg70

в)

1

2

Nг 2

38,17 кН;

Nг1

х

sin 30

38,17

20,31 кН.

1

N

F1

sin 70

y

Рисунок 9.3,

б:

по аналогии с пре-

Рис. 9.3

дыдущим

1

0,954 ;

Nв2

sin 2

cos

tg 1

2

sin 2

0,508.

N

N

в1

в2 sin

1

NFj Nвjl j

2

N

F1

N

l

N

F 2

N

в2

l

2

в

в1 1

E j Aj

EA2

j 1

EA1

20,31 0,508 5,848

38,17 0,954 2,309

2 105 103 1,3 10 4

2 105 103 2,4 10 4

X 0;

Nг1sin 1

Nг2sin 2 1 0 .

Решая уравнения равновесия, находим:

Nг1 0,879;

Nг2 0,347.

Определяем горизонтальную составляющую перемещения:

г

NF1Nг1l1 NF 2 Nг 2l2

20,31 0,879 5,848

EA

EA

2 105 103

1,3 10 4

1

2

38,17 ( 0,347) 2,309

2 105 103 2, 4 10 4

40,15 10 4 6,37 10 4 33,78 10 4 м 3,38 мм.

Находим полное перемещение:

в2 2г 4,072 3,382 5, 29мм.

Ответ:

= 5,29 мм.

Пример 9.1.2. В заданной плоской ферме (рис.9.4, а) определить

вертикальное перемещение загруженного узла.

Дано: l = 2 м; h = 1 м;

A12= A23 = 34,94 см2;

2

2

а)

A24 = A14 = A13 = 31,25 см ;

5

h

E 2 10 МПа;

F = 500 кН.

R

Rb

С

Решение.

Перемещение узла

С

4 ищем по

формуле Максвелла.

1

4

3

В

Наряду с заданным рассматриваем

F

l

l

единичное

состояние системы –

загружение фермы в узле 4 верти-

2

кальной единичной силой (рис 9.4,

б)

б). Находим усилия во всех стерж-

нях фермы в каждом из двух за-

гружений методом вырезания уз-

1

4

3

лов.