25. Норма оператора. Норма симметрического оператора.

Норма оператора  — число, которое определяется, как:

,

где  — оператор, действующий из нормированного пространства в нормированное пространство .

Это определение эквивалентно следующему:

• Свойства операторных норм:

1. , причём только при ;

2. , где ;

3. ;

4. .

В конечномерном случае, оператору в некотором базисе соответствует матрица — матрица оператора. Если норма на пространстве(пространствах), где действует оператор, допускает одно из стандартных выражений в базисе, то свойства нормы оператора повторяют аналогичные свойства нормы матрицы.

26. Приведение квадратичной формы ортогональным преобразованием к главным осям

27. Приведение пары форм к диагональному виду

28. Число обусловленности матрицы. Связь с приближенным решением систем линейных уравнений

Число обусловленности матрицы показывает насколько матрица близка к матрице неполного ранга (для квадратных матриц - к вырожденности).

Рассмотрим систему линейных уравнений

Ax=b

Если матрица A вырожденная, то для некоторых b решение x не существует, а для других b оно будет неединственным. Следовательно, если A почти вырожденная, то можно ожидать, что малые изменения в A и b вызовут очень большие изменения в x. Если же взять в качестве A единичную матрицу, то решение системы будет x=b. Следовательно, если A близка к единичной матрице, то малые изменения в A и b должны влеч за собой малые изменения в x.