20. Ортогональные операторы и ортогональные матрицы. (не весь!)

Квадратная матрица называется ортогональной матрицей, если её столбцы образуют ортонормированную систему векторов пространства арифметических векторов соответствующей размерности.

Строки ортогональной матрицы также образуют ортонормированную систему векторов.

Матрица H ортогональна тогда и только тогда, когда

H^T·H = H·H^T = E, E— единичная матрица.

21. Простейший вид матрицы ортогонального оператора евклидова пространства.

1 вариант. Если каждой паре векторов x, y линейного пространства L поставлено в соответствие действительное число (x, y), так, что для любых x, y и zиз L и любого действительного числа α справедливы следующие аксиомы:

(x, y) = (y, x),

(α·x, y) = α·(x, y),

(x + y, z) =(x, z) + (y, z),

(x, x)> 0 при x ≠ 0, (0, 0) = 0,

то в пространстве L определено скалярное произведение (x, y).

Если в линейном пространстве определено скалярное произведение, то такое пространство называется евклидовым пространством.

2 вариант. Для определения евклидова пространства проще всего взять в качестве основного понятие скалярного произведения. Евклидово векторное пространство определяется как конечномерное векторное пространство над полем вещественных чисел, на векторах которого задана вещественнозначная функция обладающая следующими тремя свойствами:

• Билинейность: для любых векторов и для любых вещественных чисел и 

• Симметричность: для любых векторов 

• Положительная определённость: для любого причём 

22. Сопряженные операторы

23. Симметрические операторы и симметрические матрицы.

Линейный оператор A называется самосопряженным, если A^* = A, т. е. если

(Ax, y) = (x, Ay), для любыхx, y V.

В ортонормированном базисе матрица самосопряженного оператора совпадает со своей транспонированной: А = A^*.

Определение Матрица, совпадающая со своей транспонированной, называется симметрической матрицей.

Таким образом, матрицей самосопряженного оператора в любом ортонормированном базисе является симметрическая матрица.

Из свойств сопряженных операторов следует, что линейные операции над самосопряженными операторами приводят к самосопряженным операторам, а тождественный оператор Е самосопряжен.

Примерами самосопряженных операторов могут служить, очевидно, операторы проектирования, зеркального отражения, подобия, т. к. их матрицы являются симметрическими.

24. Существование ортогонального базиса из собственных векторов симметрического оператора

Ортогональный базис из единичных векторов называется ортонормированным.

Линейный оператор называется симметрическим, если для любых вектороввыполняется.

Перечислим основные свойства симметрического линейного оператора: 1. Линейный оператор является симметрическим тогда и только тогда, когда его матрица в любом базисе симметрична. 2. Собственные векторы симметрического линейного оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. 3.Всякому собственному числу кратности k симметрического оператора соответствует линейно независимая система из k собственных векторов. 4.Для всякого симметрического линейного оператора существует базис в пространстве, состоящий из его собственных векторов