6. Матрица линейного отображения (оператора), переход к новому

базису, ранг, детерминант оператора.

Матрица линейного оператора. Пусть U и V – конечномерные пространства, L : U → V – линейный оператор, f – базис U, а g – базис V . Матрицей оператора L в базисах f, g называется такая матрица , что для любого x∈ U выполнена формула (нетрудно доказать, что такая матрица существует и единственна). 9 В наиболее важном случае, когда U = V и f = g матрица оператора обозначается через , а формула приобретает вид

Переход к новому базису

k-й столбец матрицы равен столбцу координат векторав базисе f. Одной формулой:

=

В качестве определения матрицы перехода можно взять любую из формул

Ранг матрицы оператора не зависит от выбора базиса и равен размерности образа этого оператора

Определитель матрицы оператора не зависит от выбора базиса и равен произведению собственных чисел оператора с учетом их алгебра- ической кратности

7. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора а, способы их нахождения.

Пусть , где V – n- мерное линейное пространство.

Определение: Число λ - называется собственным значением (с.з.) линейного оператора А, если такой, что . При этом элемент (вектор) x называется собственным вектором (с.в.) оператора А.

Здесь , если V – вещественное линейное пространство, и , если V – комплексное линейное пространство.

Критерий (существования собственного значения линейного оператора А):

Для того, чтобы λ было собственным значением линейного оператора А, необходимо и достаточно чтобы это число было корнем характеристического уравнения оператора А.

Доказательство:

Пусть - произвольный базис пространства V. - матрица оператора А в данном базисе. Тогда имеем в обе стороны (необходимость и достаточность):

(¹по критерию существования ненулевых решений однородной СЛАУ.)

Правила нахождения с.з. и с.в. линейного оператора А.

1) Выбираем в пространстве базис и записываем матрицу оператора .

2) Находим все собственные значения как корни характеристического уравнения .

3) Решая однородную СЛАУ для каждого с.з.- я находим координаты соответствующих ему собственных векторов.

Определение: Множество всех собственных значений оператора А называется спектром оператора А.

8. Существование одно- или двумерного инвариантного подпространства относительно оператора, действующего в вещественном пространстве

9. Критерий диагонализируемости линейного оператора

Определение: Квадратная матрица А порядка n называется диагональной, если она имеет вид:

Определение: Линейный оператор называется диагонализуемым, если в линейном пространстве существует базис, в котором матрица А данного линейного оператора имеет диагональный вид.

Доказательство:

Необходимость:

Пусть в базисе имеем . Тогда по определению матрицы линейного оператора можно записать:

Достаточность:

Пусть базис состоит из собственных векторов. Тогда .

Теорема 2: (Достаточное условие диагонализуемости матрицы линейного оператора).

Пусть dimV=n, если линейный оператор имеет n попарно различных с.з., , то в линейном пространстве V существует базис , в котором матрица A_e оператора А имеет диагональный вид, причем этот базис состоит из с.в-в.

А – диагонализуем тогда и только тогда, когда существует базис из его собственных векторов (оператор называется диагонализуемым, если существует базис простран- ства V , такой что матрица оператора в этом базисе является диагональ- ной).