13. Алгоритм Лагранжа для приведения квадратичной формы к

диагональному виду.

Данный метод состоит в последовательном выделении в квадратичной форме полных квадратов. Пусть

есть данная квадратичная форма. Возможны два случая:

1. хотя бы один из коэффициентов при квадратах отличен от нуля. Не нарушая общности, будем считать(этого всегда можно добиться соответствующей перенумерацией переменных);

2. все коэффициенты , но есть коэффициент, отличный от нуля (для определённости пусть будет).

В первом случае преобразуем квадратичную форму следующим образом:

где , а черезобозначены все остальные слагаемые.представляет собой квадратичную форму от n-1 переменных.

С ней поступают аналогичным образом и так далее.

Заметим, что 

Второй случай заменой переменных сводится к первому.

14. Закон инерции вещественных квадратичных форм.

Число положительных коэффициентов в нормальном виде квадратичной формы называемое положительным индексом инерции; число отрицательных коэффициентов называемое отрицательным индексом инерции и число нулевых коэффициентов называемое дефектом квадратичной формы являются инвариантами, т.е. не зависят от базиса, в котором данная квадратичная форма принимает нормальный вид.

15. Положительно определенные квадратичные функции. Критерий Сильвестра.

Определение. Квадратичная функция на линейном пространстве L называется положительно определенной, если ; отрицательно определенной, если .

16. Евклидовы пространства, условие изоморфизма.( не точно!)

Вещественное линейное пространство  называется евклидовым, если каждой паре элементов этого пространства поставлено в соответствие действительное число, называемое скалярным произведением, причем это соответствие удовлетворяет следующим условиям:

Вещественное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым пространством. Нормой элемента a ∈ V называется число p ν(a, a).

Изоморфизмом линейных пространств называется биективный линейный оператор. Два линейных пространства U и V называются изо- морфными, если существует изоморфизм из U в V .

17. Неравенство Коши-Буняковского. Модуль вектора, расстояние и косинус угла между векторами.

Неравенство Коши–Буняковского.

Модулем (длиной) вектора называется длина(норма) соответствующего отрезка  и обозначается как .

Для любых двух ненулевых векторов x и y евклидова пространства E со скалярным призведением (x, y)  определен угол между векторами x и y:

Для любых двух ненулевых векторов x и y евклидова пространства E со скалярным призведением (x, y)  определено расстояние между векторами x и y:

18. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта

Пусть – базис евклидова пространства V . Тогда элементы

являются ортогональным базисом V . Более того, если – система образующих V , то ненулевые элементы набораобразуют базис пространства V .

19. Ортогональное дополнение к подпространству евклидова пространства.

Определение: Два подпространства и унитарного (евклидова) пространства наз-ся ортогональными , если : или

Вектор, ортогональный к подпространству : Пусть L – линейное подпространство евклидова (унитарного) пространства . Вектор x называется ортогональным к подпространству L, если он ортогонален каждому вектору из этого подпространства. Обозначение: .

Ортогональное дополнение к подпространству: Пусть L – линейное подпространство евклидова пространства . Совокупность всех векторов , ортогональных подпространству L, называется ортогональным дополнением к L. Обозначение: .

Т. об ортогональном дополнении как подпространстве : Ортогональное дополнение к подпространству является линейным подпространством того же пространства.