4. 6. Длина дуги параллели

Радиус параллели, как видно из формулы ( 4. 10 ), не зависит от долготы и для данной параллели имеет постоянное значение ( параллель – окружность ), поэтому для вычисления длины дуги параллели применяют формулу

, ( 4. 32 )

здесь разность долгот берется в радианной мере.

В отличие от меридиана, длина дуги параллели, соответствующая одинаковой разности долгот, различается. Если на экваторе эти значения близки к тому, что имеет место на меридиане, то, например, на широте в 60⁰ (cos60⁰ = 0. 5 ) они будут в два раза меньше.

4. 7. Площадь сфероидической трапеции. Размеры рамок

трапеций топографических карт

Трапеция топографической карты любого масштаба является отображением на плоскости в соответствующей проекции ( цилиндрической Гаусса – Крюгера, конической Ламберта и др ) сфероидической трапеции, ограниченной меридианами и параллелями с соответствующей разграфке масштабных рядов разностью долгот и широт. Например, для масштаба 1 : 1 000 000 у нас в стране эти разности приняты соответственно в 6⁰ и 4⁰. В других странах принята иная разграфка, например, для близ экваториальных стран приняты обе разности в 4⁰. В любом случае стремятся к тому, чтобы линейные размеры трапеций карт любого масштаба были бы примерно одинаковыми.

Пусть мы имеем такую сфероидическую трапецию. Тогда площадь поверхности эллипсоида, ограниченная парами меридианов и параллелей определяется двойным интегралом

Подынтегральное выражение преобразуем. Для этого перейдем к первому эксцентриситету по известной формуле e^/2 = e² / (1 – e² ), в результате получим

( 4. 33 )

Используя новую переменную по формуле esinB = sinQ, будем иметь cosB dB =( cosQ dQ ) / e.

В результате имеем после очевидных преобразований и интегрирования

( 4. 34 )

Возвращаясь от переменной Q к широте В, получим

( 4. 35 )

Вычисление площади по полученной формуле производится при условии, что разность долгот берется в радианной мере. При этом точность вычислений зависит только от их разрядности, так как формула ( 4. 35 ) строгая. В учебниках старых изданий приведена другая формула для вычислений площади трапеции, полученная путем разложения биномиального выражения под знаком интеграла ( 4. 33 ) в ряд, что в настоящее время с наличием современной вычислительной техники неактуально.

Прежде чем приступить к формулам для вычислений размеров рамок топографических карт, полезно заметить следующее. Во – первых, эти размеры нужны для вычерчивания рамок соответствующего масштаба карт, когда предельная графическая точность равна 0. 1 мм в масштабе карты. Например, для масштаба карты 1 : 1 000 000 это будет соответствовать на местности величине в 100 м, а для самого крупного масштаба карты 1 : 10 000, соответственно 1 м. Во – вторых, несложно убедиться, что линейные размеры трапеций карты любого масштаба примерно одинаковы и не превосходят величины 50 х 50 см. В – третьих, численные значения размеров рамок нужны для их нанесения на планшет и вычерчивания с графической точностью ( до 0. 1 мм ). Таким образом мы видим, что в любом случае при вычислениях необходимо учитывать не более четырех значащих цифр.

На рисунке 4. 4 показана трапеция топографической карты, у которой осно-

В Рис. 4. 4

ваниями являются изображения на плоскости параллелей, а боковыми сторонами – изображения меридианов эллипсоида. Для вычисления их длин воспользуемся ранее полученными формулами для малой дуги меридиана и параллели ( 4. 31 , 4. 32 ), при этом будем иметь в виду, что карта масштаба 1 : m , линейные параметры эллипсоида даны в метрах. С учетом этого имеем

(4. 36 )