5. 3. Порядок решения треугольников по теореме Лежандра
В условиях Республики Беларусь длины сторон триангуляции 1 класса не превышают величины 30 км. Порядок решения сети треугольников триангуляции по теореме Лежандра будет следующим:
определяют порядок решения треугольников сети так, чтобы последовательно производилась передача длин сторон из треугольника в треугольник, в конечном итоге замыкалась на исходную сторону;
по длине стороны и измеренным углам вычисляют сферический избыток по формулам ( 5. 7 ) – ( 5. 8 ) в триангуляции 1 класса с округлением до 0. 001//, в триангуляции 2 класса – до 0. 01//;
вычитают из измеренных значений углов треугольника одну треть сферического избытка – получают измеренные приведенные плоские углы;
вычисляют невязку треугольника и вычитают одну треть ее из каждого угла – получают уравненные плоские приведенные углы треугольника;
по теореме синусов плоской тригонометрии вычисляют неизвестные две стороны треугольника с контролем
расхождение значений стороны с, полученное в треугольнике дважды, не должно превышать 0. 001 м.
В том случае, когда решаются треугольники, объединенные в сеть, необходимо последний из решаемых треугольников выбрать так, чтобы он примыкал к первому. И в этом случае контролем правильного решения будет условие, что расхождение в длине стороны, полученной дважды, не превышает величины 0. 001 м.
Если решаются треугольники трилатерации, порядок следующий:
вычисление плоских приведенных углов треугольников по формулам
;
вычисление сферического избытка по формулам ( 5. 7 ) и ( 5. 9 );
вычисление сферических углов треугольников по формулам
5. 4. Способ аддитаментов для решения треугольников
Для треугольника АВС рис. 5. 1 можем записать по теореме синусов сферической тригонометрии
. (
5. 10 )
Далее представляем синусы малых аргументов в виде разложений в ряд по формуле Маклорена с той же точностью, что и в способе Лежандра, в результате получаем
;
.( 5. 11 )
Несложно
заметить, что для любого класса
триангуляции или трилатерации величины,
вычитаемые из длин сторон ( b,
a), малые и их называют
аддитаментами. Например, для длин сторонs≤ 60 000м имеем аддитаменты
.
С учетом этого можем записать вместо (
5. 11 ) для приведенных длин сторон выражение
в виде теоремы синусов плоской
тригонометрии
.( 5. 12 )
Отсюда видно, если в сферическом треугольнике из исходной стороны вычесть аддитаменту, получив ее приведенную длину, приведенные длины других сторон можем вычислить по теореме синусов плоской тригонометрии, если использовать уравненные сферические углы треугольника. На практике способ аддитаментов для решения треугольников используют, как правило, для контроля решения способом Лежандра.
Таким образом замечаем порядок решения сферических треугольников по способу аддитаментов.
В триангуляции:
получают уравненные сферические углы треугольников, для чего из способа Лежандра берут уравненные плоские углы плюс одна треть сферического избытка;
вычисляют аддитаменту исходной стороны по формуле
;вычисляют приведенную длину исходной стороны по формуле
;по теореме синусов плоской тригонометрии вычисляем приведенные длины определяемых сторон с контролем
;
вычисляем аддитаменты определяемых сторон
;
и точные значения сторон сферического треугольника
При вычислении аддитаментов можно использовать как точные, так и приведенные длины сторон. В этом случае для любого класса триангуляции будет обеспечена необходимая точность вычислений сторон как и в способе Лежандра. Действуя последовательно, решают любое число треугольников.
В трилатерации:
вычисляют аддитаменты
всех сторон треугольников и их приведенные
длины
;по теореме косинусов плоской тригонометрии вычисляют сферические углы треугольников
Действуя последовательно, решают любое число треугольников.