7. 4. Характеристические уравнения геодезических проекций

В теории отображения поверхностей указывается на то, что все многообразие конформных отображений следует из аналитической функции комплексных переменных, связывающей изометрические координаты на обеих поверхностях. Под изометрическими координатами на любой поверхности понимают такие, когда равным приращениям координат соответствуют равные линейные приращения вдоль координатных линий. Заметим, что в математике такая система координат называется изотермической, а в картографии и геодезии принято название изометрическая. Таким образом, необходимо установить изометрические координаты на поверхности эллипсоида. Линейный элемент поверхности эллипсоида в функции геодезических координат имеет ранее полученное выражение ( 4. 6 ), которое преобразуется к изометрической форме следующим образом

( 7. 17 )

Здесь q– изометрическая широта, связанная с геодезической дифференциальным уравнением

( 7. 18 )

Интегрирование данного уравнения производим следующим образом

( 7. 19 )

Здесь приняли постоянную интегрирования, равной нулю, так как счет широт ведется от экватора.

Система плоских прямоугольных координат изометрическая. Линейный элемент на плоскости выражается уравнением

( 7. 20 )

Для конформных геодезических проекций запишем уравнения связи изометрических координат в прямом и обратном изображениях

( 7. 21 )

Учитывая, отмеченное ранее, что в геодезических проекциях решается задача изображения сравнительно малых областей эллипсоида, для каждой из которых можно выбрать некоторые средние значения координат q₀иL₀на эллипсоиде, которым на плоскости будут соответствовать значенияx₀ , y₀, уравнения ( 7. 21 ) можно записать в виде

.( 7. 22 )

Здесь L₀– долгота осевого меридиана и, очевидно, будут иметь место уравнения

. ( 7. 23 )

Поскольку функции ( 7. 22 ) аналитические, а приращения координат qиl,xиyмалые величины, их можно разложить в ряд по формуле Тейлора по степеням малых величин

( 7. 24 )

Но в геодезических проекциях выполняется условие, что осевой меридиан изображается прямой линией на плоскости, когда выполняются условия

l = 0; y = 0.( 7. 25 )

и для изображения осевого меридиана на плоскости будут иметь место уравнения

,( 7. 26 )

где коэффициенты C_j– производные вида, а.

Обратимся к первому уравнению из ( 7. 26 ). Оно выражает длину изображения осевого меридиана на плоскости от точки с координатами x₀,y₀( начальной точки ) до текущей точки изображаемой области. При этом заметим, что эта длина выражается в виде разложения по степеням разности изометрической широты текущей и начальной точек, а также коэффициентов разложения, являющимися функциями широты начальной точки. Поэтому формулы ( 4. 24 ) и ( 7. 26 ) называют формулами, основанными на рядах с начальными аргументами.

Уравнения ( 7. 26 ) для различных проекций указанного класса будут отличаться только коэффициентами разложений, которые будут зависеть от вида функций ( 7. 21 ), описывающих проекции, поэтому назовем эти уравнения характеристическими уравнениями геодезических проекций.