7. Геодезические проекции

7. 1. Применение плоских координат в геодезии

Мы рассмотрели решение геодезических задач на поверхности земного эллипсоида при различных расстояниях между точками. Отметим, что в большинстве случаев геодезической практики измерения производятся между точками, удаленными друг от друга на незначительные расстояния. Более того, геодезические построения, создаваемые в качестве обоснования для крупномасштабных топографических съемок инженерных объектов, населенных пунктов и др., как правило, располагаются на ограниченных по площади территориях. В этих случаях более удобной и простой является система координат на плоскости.

В системе плоских координат решение всех задач производится значительно проще – по формулам плоской тригонометрии. В геодезии, как известно, применяются две системы плоских координат: декартовые прямоугольные–x, yиполярные– расстояниеsи дирекционный угол α. Со времен Гаусса в геодезии у нас в стране и в ряде других стран принята левая система координат ( рис. 7. 1 ).

Рис. 7. 1

В прямой геодезической задаче на плоскости даны прямоугольные координаты x1, y1одной точки и полярные координатыS,α12 другой. Требуется найти прямоугольные координатыx2, y2другой точки. Задача решается по формулам x2 = x1 + S cosα 12 y2 = y1 + S sinα12 Обратный дирекционный угол α21отличается от прямого на 1800 α21 = α12 ± 1800

В обратной задаче по известным прямоугольным координатам x₁, y₁, x₂, y₂,двух точек требуется найти полярные координаты. Задача решается по формулам:

Видно, что указанные формулы существенно проще формул, которые мы рассмотрели для решения аналогичных задач на поверхности эллипсоида даже при малых расстояниях. Поэтому при решении многих задач в геодезии применяют систему плоских координат, а поверхность эллипсоида заменяют плоскостью.

Поверхность эллипсоида неизометрична плоскости, т. е не может быть развернута на ней без деформаций и разрывов. Поэтому в геодезии, как и в картографии применяют различные законы взаимного отображения ( проекции ) поверхности эллипсоида на плоскости. В математической картографииподробно рассматриваются различные виды проекций, учет искажений геометрических элементов эллипсоида при их отображении на плоскости с целью создания самых различных карт от наиболее точных – топографических, до обзорных – географических( картографические проекции).

Анализ проекций для решения геодезических задач на плоскости ( геодезических проекций ), получивших наибольшее применение в мировой геодезической практике, показывает следущее:

во – первых, геодезические проекции получают на основе теории конформного ( равноугольного ) отображения поверхностей, когда частный масштаб длин в точке не зависит от направления и сохраняется подобие бесконечно малых фигур;

во – вторых, геодезические построения на отдельных объектах и в отдельных государствах, как правило, охватывают небольшие по сравнению с площадью Земли территории;

в – третьих, все геодезические проекции относятся к весьма узкому классу перспективных и симметричных проекций, когда все виды искажений возрастают по мере удаления от линии или точки симметрии;

в – четвертых, в геодезических проекциях, по крайней мере, один из меридианов эллипсоида на плоскости изображается прямой линией и принимается за одну из коорджинатных осей, в левой системе – за ось абсцисс и называется осевым меридианом.

У нас в стране, других странах Европы и бывшего Советского Союза до последнего времени наиболее широкое применение для создания топографических карт и для обработки геодезических измерений нашла проекция Гаусса – Крюгера. Вообще говоря, во всех странах, как правило, для этих целей применяется одна и та же проекция (одна система плоских координат), что обеспечивает удобства совместного применения топографических карт, каталогов координат геодезических пунктов и результатов геодезических измерений при инженерно – геодезическом обеспечении проектирования, строительства и эксплуатации самых различных объектов.

Заметим, что К. Гаусс в 1825 году применил конформную проекцию для математической обработки результатов градусных измерений, выполненных вдоль Ганноверского меридиана. Удобство этой проекции заключалось в том, что искажения всех измеренных величин в ряде триангуляции, вытянутом вдоль меридиана, при отображении на плоскость были пренебрегаемо малы. Вычислив плоские координаты исходных пунктов по геодезическим, уравнивание ряда и все вычисления в нем производили на плоскости. Основные формулы для вычислений и результаты геодезических работ Гаусса впервые были опубликованы известным немецким геодезистом О. Шрейбером в 1866 году. В 1917 году в Германии и Австрии проекция Гаусса с трехградусными координатными зонами рекомендована для кадастровых работ. И лишь в 1919 году немецкий геодезист Л. Крюгер предложил проекцию Гаусса с шестиградусными зонами для создания топографических карт и математической обработки геодезических измерений, для чего были составлены специальные таблицы, существенно облегчающие вычисления. В результате проекция стала находить все большее применение в различных странах как проекция Гаусса – Крюгера. В СССР проекция Гаусса – Крюгера впервые применялась с 1928 года для обработки Донбасской триангуляции известным советским геодезистом и маркшейдером Н. Г. Келлем.

Повсеместное применение в СССР проекция Гаусса – Крюгера нашла после введения системы геодезических координат 1942 года на поверхности референц – эллипсоида Красовского ( до этого применялся эллипсоид Бесселя ). Были разработаны специальные таблицы как для логорифмических, так и нелогорифмических вычислений, для широт территории СССР. В разработку таблиц наибольший вклад внесли известные советские ученые – геодезисты Ф. Н. Красовский, А. А. Изотов, А. М. Вировец, Д. А. Ларин, Б. Н. Рабинович.