Министерство образования и науки РФ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«МАТИ»-Российский государственный технологический университет имени К. Э. Циолковского
Кафедра «Технология производства двигателей летательных аппаратов»
Лабораторный практикум
MATLAB. Занятие 2
СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Составители:
Курицына В.В.
Москва 2011
2
Содержание
ВВЕДЕНИЕ.......................................................................................................... |
3 |
ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН........................................... |
4 |
Характеристика положения центра группирования случайных величин..... |
4 |
Характеристики рассеяния случайной величины........................................... |
5 |
Характеристики выборки наблюдений............................................................ |
5 |
Нормальное распределение (распределение Гаусса) .................................. |
7 |
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ВЫБОРКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ В ВИДЕ |
|
РЯДА РАСПРЕДЕЛЕНИЙ................................................................................. |
9 |
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК В СРЕДЕ |
|
MATLAB ............................................................................................................ |
11 |
Формирование выборки экспериментальных данных ................................. |
11 |
Способы формирования файла выборки .................................................. |
11 |
Вариант 1. Формирование матрицы данных результатов измерений 12 |
|
Вариант 2. Моделирование результатов измерений.............................. |
12 |
Построение графиков распределения.......................................................... |
13 |
Вариант 1. Построение графиков распределения.................................. |
13 |
Вариант 2. Построение графиков распределения.................................. |
14 |
ВИЗУАЛЬНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ............................................................. |
15 |
Моделирование в Matlab Simulink ................................................................. |
15 |
Начало работы с Simulink .............................................................................. |
16 |
Создание модели Simulink............................................................................. |
17 |
Формирование выборки для анализа......................................................... |
17 |
Расчет статистических характеристик ............................................... |
18 |
Построение гистограммы распределения............................................... |
19 |
Блок-схема визуальной модели................................................................... |
21 |
Моделирование случайного процесса.......................................................... |
22 |
Модельный эксперимент............................................................................ |
22 |
Создание массивов со случайными элементами...................................... |
23 |
Модификация источника данных в модели.............................................. |
23 |
Примерный вид блок-схемы модели.......................................................... |
24 |
3
ВВЕДЕНИЕ
В арсенале средств, которыми должен владеть современный экспериментатор, статистические методы обработки и анализа данных занимают особое место. Это связано с тем, что результат любого, достаточно сложного эксперимента не может быть получен без обработки экспериментальных данных.
Аппарат теории вероятности и математической статистики разработан и применяется для описания закономерностей, присущих массовым случайным событиям. Каждому случайному событию сопоставляется соответствующая случайная величина (в данном случае результат эксперимента).
Для описания случайных величин используются следующие характеристики:
а) числовые характеристики случайной величины (например, математической ожидание, дисперсия, …);
б) закон распределения случайной величины – функция, несущая всю информацию о случайной величине.
Числовые характеристики и параметры закона распределения случайной величины связаны между собой определенной зависимостью. Часто по значению числовых характеристик можно предположить закон распределения случайной величины.
Законом распределения случайной величины обычно называется функция распределения вероятностей принятия случайной величиной того или иного значения. Это функция, которая ставит в соответствие возможным интервальным значениям случайной величины вероятность попадания ее в эти интервалы.
4
ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН
Характеристика положения центра группирования случайных величин
В качестве числовых характеристик положения центра группирования случайных величин используют математическое ожидание или среднее значение, моду и медиану случайной величины (рис.3.1.).
Математическое ожидание случайной величины Y обозначают через МY или a и определяют по формуле:
∞
a = MY = ∫Yϕ(Y )dY .
−∞
Математическое ожидание указывает на положение центра группирования случайных величин, или положение центра масс площади под кривой. Математическое ожидание является числовой характеристикой случайной величины, то есть является одним из параметров функции распределения.
ϕ(Y ϕ(Y)max
1/2 |
1/2 |
0 MoY |
Y |
|
|
MеY |
|
Рис. 3.1. Характеристики группирования случайной величины X
Модой случайной величины Y является такое значение МoY, в котором плотность вероятности имеет максимальное значение.
Медианой случайной Y служит значение МеY, которое соответствует условию:
P (Y < МеY) = P (Y > MeY) = 0,5 .
Геометрически медиана представляет абсциссу точек прямой, которая делит площадь, ограниченную кривой плотности вероятности пополам.
5
Характеристики рассеяния случайной величины
Одной из основных характеристик рассеяния случайной величины Y около центра распределения служит дисперсия, которая обозначается D(Y) или σ2 и определяется по формуле:
∞
D(Y ) =σ 2 = ∫(Y −a)2ϕ(Y )dY .
−∞
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Часто вместо дисперсии за меру рассеивания случайной величины используют положительное значение квадратного корня из дисперсии, которое называется средним квадратичным отклонением или стандартным отклонением:
σ = D(Y ) = 
σ2 .
Как и дисперсия, среднеквадратичное отклонение характеризует разброс величины вокруг математического ожидания.
В практике широко применяют также характеристику рассеивания, называемую коэффициентом вариации ν, который представляет отношение среднего квадратичного отклонения к математическому ожиданию:
ν = σa 100% .
Коэффициент вариации показывает, насколько велико рассеяние по сравнению со средним значением случайной величины.
Характеристики выборки наблюдений
Среднее значение наблюдаемого признака можно оценить по формуле
Y= 1 ∑n Yi ,
n i=1
где Yi – значение признака в i-м наблюдении (опыте), i=1...n.; n – количество наблюдений.
Выборочное среднеквадратичное отклонение определяется по формуле:
|
1 |
n |
S = |
∑(Yi −Y )2 . |
|
|
n −1i=1 |
|
Тогда коэффициент вариации можно рассчитать следующим образом:
ν = YS .
Зная коэффициент вариации ν, можно определить показатель точности Н по формуле:
6
H = νn .
Чем точнее проведено исследование, тем меньше будет величина показателя
Н.
В зависимости от природы изучаемого явления показатель точности исследования считается достаточным, если он не превышает 3÷5%.
Не редки случаи, когда в результаты эксперимента вкрадывается грубая погрешность. Существует несколько способов оценки грубых погрешностей. Наиболее простой основан на вычислении максимального относительного отклонения U. Для этого результаты измерения располагают в ряд монотонно возрастающих значений. Проверке на грубую погрешность подлежит наименьший Ymin или наибольший Ymax член ряда. Расчет проводят по формулам:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = |
Y |
−Ymin |
; |
U = |
Ymax −Y |
. |
||
|
|
S |
|
|||||
|
|
|
|
|
S |
|||
Значение U сравнивают с табличным значением для данной доверительной вероятности Uα. Если U ≤ Uα, то в данном наблюдении нет грубой погрешности. В противном случае результат наблюдения отсеивают и
производят перерасчет Y и S. Затем повторяют процедуру оценки и исключения грубых погрешностей до тех пор, пока не будет выполняться неравенство U ≤ Uα для крайних членов ряда.
Во многих случаях результаты статистических наблюдений могут быть описаны теоретическими законами распределения. При интерпретации данных, полученных экспериментальным путем возникает задача – определить такой теоретический закон распределения случайной величины, который наилучшим образом соответствует результатам наблюдений. Более конкретно эта задача сводится к проверке гипотезы о принадлежности случайной выборки к некоторому закону распределения.
Разные по природе анализируемые процессы обуславливают области применения различных законов распределения. Так результат технологического эксперимента при одних и тех же условиях обработки подчиняется и результат эксперимента по бросанию монеты с орлом и решкой подчиняются совершенно разным законам. Законы распределения случайной величины характеристик надежности, отказов так же имеют особенности.