Математические методы / Лабораторные / Лабораторная №2 Вариант №17

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Національний авіаційний університет

Кафедра комп’ютерних та інформаційних технологій

Лабораторна робота №2

з дисципліни: «Математичні методи дослідження операцій»

За темою : «Вирішення транспортної задачі методом потенціалів»

Варіант 17

Виконав:

Студент ТП-213 ІКІТ

Односумов М.С.

Київ 2017

Завдание: Решить транспортную задачу методом потенциалов.

Теоретический материал:

Транспортная задача - математическая задача линейного программирования специального вида о поиске оптимального распределения однородных объектов из аккумулятора к приемникам с минимизацией затрат на перемещение.

Для простоты понимания рассматривается как задача об оптимальном плане перевозок грузов из пунктов отправления (например, складов) в пункты потребления (например, магазины), с минимальными общими затратами на перевозки.

Математическая модель транспортной задачи имеет следующий вид:

где:

Z - затраты на перевозку грузов;

X - объем груза;

C - стоимость (тариф) перевозки единицы груза;

A - запас поставщика;

B - запрос потребителя;

m - число поставщиков;

n - число потребителей.

Алгоритм решения транспортной задачи в самом общем виде:

1. Построение транспортной таблицы.

2. Проверка задачи на закрытость.

3. Составление опорного плана.

4. Проверка опорного плана на вырожденность.

5. Вычисление потенциалов для плана перевозки.

6. Проверка опорного плана на оптимальность.

7. Перераспределение поставок.

8. Если оптимальное решение найдено, переходим к пункту 9, если нет – к пункту 5.

9. Вычисление общих затрат на перевозку груза.

10. Построение графа перевозок.

Ход работы:

Входные данные:

Входные данные: А₁ =50 А₂ =100 А₃ =110 В₁ =60 В₂ =90 В₃ =60

Матрица стоимости:

2	1	0	1
0	3	1	2
2	1	1	3

1. Построение транспортной таблицы:

Где Ai - запасы материалов, имеющиеся на складах поставщиков; Bj - потребности магазинов в этих материалах; Cij - значение тарифов на перевозку груза.

2. Проверка задачи на закрытость:

Обозначим суммарный запас груза у всех поставщиков символом A, а суммарную потребность в грузе у всех потребителей – символом B.

Транспортная задача называется закрытой, если A = B. Если же A ≠ B, то транспортная задача называется открытой.

A = 50 + 70 + 120 = 240

B = 90 + 50 + 40 + 60 = 240.

A = B, следовательно, данная транспортная задача – закрытая.

3. Составление опорного плана:

Метод Северо-Западного угла. Суть метода проста - ячейки транспортной таблицы последовательно заполняются максимально возможными объемами перевозок, в направлении сверху вниз и слева направо. То есть сперва заполняется самая верхняя левая ячейка ("северо-западная" ячейка), потом следующая справа и т.д. Затем переходят на новую строку и вновь заполняют ее слева направо. И так пока таблица не будет заполнена полностью.

Опорный план:

4. Проверка опорного плана на вырожденность:

Клетки таблицы, в которые записаны отличные от нуля перевозки, называются базисными, а остальные (пустые) - свободными. План называется вырожденным, если количество базисных клеток в нем меньше, чем m + n -1.

Кол-во базисных клеток – 6.

m + n – 1  = 3 + 4 – 1 = 6.

Следовательно, первоначальный план перевозок – невырожденный.

5. Вычисление потенциалов для плана перевозки:

Для анализа полученных планов и их последующего улучшения удобно ввести дополнительные характеристики пунктов отправления и назначения, называемые потенциалами. Этот метод улучшения плана перевозок называется методом потенциалов.

Итак, сопоставим каждому поставщику Ai и каждому потребителю Bj величины Ui и Vj соответственно так, чтобы для всех базисных клеток плана было выполнено соотношение:

Предположим, что U1=0, тогда мы можем найти V1=C11-U1=2-0=2. По аналогии вычисляем все оставшиеся потенциалы.

6. Проверка плана на оптимальность методом потенциалов:

Для каждой свободной клетки плана вычислим разности

ΔCij = Cij – (Ui + Vj )

и запишем полученные значения в левых нижних углах соответствующих ячеек.

План является оптимальным, если все разности ΔCij ≥ 0. В данном случае план – неоптимальный и его следует улучшить путем перераспределения поставок.

7. Перераспределение поставок:

Цикл перераспределения поставок представляет собой замкнутую ломаную линию, которая соединяет начальную вершину (отмечена красным цветом) и занятые (отмеченные в нашем примере зеленым цветом) ячейки транспортной таблицы по определенным правилам:

1. Все вершины, кроме начальной, находятся в занятых ячейках таблицы (ячейки с ненулевыми перевозками или «введенные в базис» на шаге 4 (в разделе «Проверка плана на вырожденность» ячейки с нулевой перевозкой — здесь они отмечены в примерах зеленым цветом), при этом охвачены циклом могут быть не все, а лишь некоторые занятые ячейки.

2. В каждой вершине цикла встречаются ровно два звена ломаной линии, причем одна из них находится по строке, а другая — по столбцу. Иначе говоря, они пересекаются под прямым углом.

3. Линия может пересекать занятые ячейки, не включая их в цикл (включение их в цикл не допускается). Другими словами, никакие три последовательные вершины не могут находиться в одной и той же строке или одном и том же столбце.

4. Линия может пересекать саму себя, при этом точка пересечения не включается в цикл (исходя из п.2).

Початкове базисне рiшення: x₁₄=50 x₂₂=40 x₂₃=60 x₃₁=60 x₃₂=50

Початкова цільова функція:

S₀= Σ С_ij x_ij;

S₀= 50+120+60+120+50 = 400;

Оптимальне базисне рiшення: x₁₃=40 x₁₄=10 x₂₁=60 x₁₄=40 x₂₂=90 x₃₃=20

Оптимальна цільова функція:

S_о= Σ Сij xij;

S_о= 10+80+90+20 = 200;

Висновки: в результаті виконання лабораторної роботи я навчився розв’язувати транспортні задачі методом потенціалів.