Добавил:

pmaxim2006 fizmathim.ru Решаю задачи по высшей математике. Фотографии решенных заданий по высшей математике https://fizmathim.ru/photo/ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Предмет:

Математика

Файл:

ИДЗ 15.1 Рябушко пример решения

.pdf

Скачиваний:

101

Добавлен:

20.02.2017

Размер:

305.45 Кб

Скачать

☆

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

ИДЗ 15.1 – Вариант 0

1. Дана функция u(M) = u(x, y, z) и точки M1, M2. Вычислить: 1) производную этой функции в точке M1 по направлению вектора M1M2 ; 2) grad u(M1)

1.0. u(M) = 3x2y2z2, M1(–2, 1, 1), M2(3, –1, 0)

1. Вычислим производную функции u(M) = u(x, y, z) в точке M1 по направлению вектора

M1M2 x 2 x1; y2 y1; z2 z1 3 2 ; 1 1; 0 1 5; 2; 1

Получили вектор M1M2 5; 2; 1

Справедлива формула для функции u = f(x, y, z)

du M1

u M

cos

u M

cos

u M

cos

M1M2

Находим частные производные

u M

3x 2 y

2 z 2 x

3 2xy 2 z 2

6xy 2 z 2

u M

6 2 12 12

u M

3x 2 y

2 z 2 y 3 2yx2 z2 6yx2 z2

u M

6 1 2 2 12 24

u M

3x 2 y

2 z 2 z

3 2zx2 y2

6zx2 y2

u M

6 1 2 2 12

Найдем модуль вектора M1M2 :

M M

a 2

52 2 2

1 2

25 4 1

Направляющие косинусы:

cos

a x

cos

a y

cos

a z

Запишем производную функции в точке M1

по направлению вектора M1M2 ;

du M

132

M1M2

2. Согласно определению, градиент функции u = f(x, y, z) в точке M1 получаем по формуле

grad u M	1	u		i u		j u		k
grad u M		u		i u		j u		k
		x		y		z
		x	M	y	M	z	M
		1			M	1
					1

Тогда, согласно данным, полученным в пункте 1 градиент функции равен grad u M1 12i 24j 24k

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

2. Вычислить поверхностный интеграл первого рода по поверхности S, где S – часть плоскости (p), отсеченная координатными плоскостями.

2.0. 5x 2y 3z dS , (p): x – y + z = 2

Из уравнения плоскости находим z 2 x y

Находим частные производные z´x и z´y z x 2 x y x 1

z y 2 x y y 1

Применяем формулу (дифференциал поверхности)

dS 1 zx2 z y2 dxdy

dS 1 12 1 2 dxdy 1 1 1dxdy 3dxdy

Запишем уравнение плоскости x – y + z – 2 = 0 В виде уравнения в отрезках:

x	y		z	1
	2
2		2

Сводим вычисление поверхностного интеграла к вычислению двойного интеграла по области D, где D

– треугольник AOB, являющийся проекцией поверхности S на плоскость Oxy.

Тогда

5x 2y 3z dS 5x 2y 3 2 x y 3dxdy 5x 2y 6 3x 3y 3dxdy

S								D																				D
2x y 6 3dxdy												2	0														2				y2						0
																																					0

												3 dx 2x y 6 dy													3 dx 2xy									6y
																															2
D												0			x 2												0				2							x 2


	2				2x x 2				x 2 2					6 x									2						x 2 4x 4
									x 2 2														2				2		x 2 4x 4
																								2x				4x											6x 12
3 dx									2								2				3			2x				4x					2						6x 12			dx
	0								2														0										2
		2			2		x 2													2 5						2										5 x 3							2		5x 3		2



	3			2x		2x				2x			2 12					3						x			10 dx													10x						10x
	3			2x		2x				2x			2 12			dx		3						x			10 dx							3						10x				3		10x
	0							2												0 2																2 3							0		6		0
	0																			0 2																							0				0
			5 23									5 03										5 4										20 60									40 3
			5 23									5 03										5 4										20 60									40 3
	3					10 2					3				10		0		3									20		3
	3					10 2					3				10		0		3									20		3
				6								6										3													3						3
				6								6										3													3						3

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

3. Вычислить поверхностный интеграл второго рода.

3.0. yzdydz x 2dxdz y2dxdy , где S – часть поверхности конуса x2 + z2 = y2 (нормальный вектор n

которой образует тупой угол с ортом j), отсекаемая плоскостями y = 0, y = 2. z

2 y

Если обозначить проекции поверхности S на координатные плоскости Oyz, Oxz и Oxy через Dx, Dy, Dz соответственно, а данный интеграл I рассматривать как сумму трех интегралов:

I1 yzdydz, I2		x	2	dxdz, I3	y		2	dxdy	z
			2				2

S		S			S
									2
В проекции на Oyz конус имеет вид x 2 y2						z2			2	y
Из соображения симметрии, следует
Получаем									2
I1 yzdydz yzdydz yzdydz 0									2
I1 yzdydz yzdydz yzdydz 0
S	Dx	Dx							z
									z
В проекции на Oxz x2 + z2 = 4 – окружность									2
В проекции на Oxz x2 + z2 = 4 – окружность
Для вычисления интеграла I2 перейдем к полярным координатам, положив
x cos ,	z sin ,	dxdz d d ; 0 2 ; 0 2							2	x
y2 x 2 z2	2 cos 2 2 sin 2 2				cos 2	sin 2 2

2 4 2

где область Dy – круг x2 + z2 = 4, y = 0, являющийся проекцией поверхности конуса

на плоскость Oxz. Так как нормаль n поверхности образует тупой угол с ортом j, то перед интегралом I2 ставится знак «−»

Тогда получаем

																							2		2		2			4
I2 x 2dxdz x 2 dxdz 2 cos 2 d d cos 2																									d 3d cos 2			d		4
S							Dy						Dy										0		0		0			4
S							Dy						Dy										0		0		0
2					2	4		0	4				2				16		2			cos 2				1			2
2						4			4				2						2										2
	2													2						1

cos		d									cos					d		4						d 2			sin 2
0					4			4					0				4		0				2			2			0
0													0						0										0
			1									1							1										y
2 2				sin 2 2						0			sin 2		0 2 2						0		4
2 2				sin 2 2						0			sin 2		0 2 2						0		4
			2									2							2
			2									2							2
В проекции на Oxy конус имеет вид z2 y2 x 2																											2
В проекции на Oxy конус имеет вид z2 y2 x 2
Получаем																										2				2
Так как проекция параллельна плоскости Oz
Из соображения симметрии, следует

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

I3 y2dxdy 0

Витоге:

yzdydz x 2dxdz y2dxdy I1 I2 I3 0 4 0 4

4. Вычислить поток векторного поля a(M) через внешнюю поверхность пирамиды, образуемую плоскостью (p) и координатными плоскостями, двумя способами: а) использовав определение потока; б) с помощью формулы Остроградского – Гаусса.

4.0. а(M) = (3y + 2z)i + (2x + 3y)j + yk, (p): x + 2y + 2z = 2

Вычисляем поток векторного поля с помощью поверхностного интеграла

П a n 0dS

	S	y z 1
	где S – внешняя сторона поверхности пирамиды ABCO	y z 1
	где S – внешняя сторона поверхности пирамиды ABCO
		x 2z 2
	Вначале вычислим поток через каждую из четырех
	граней пирамиды.
		x 2y 2

Грань AOC лежит в плоскости y = 0, нормаль к этой грани n10 j, dS dxdz

Тогда поток векторного поля a(M) через грань AOC

																															1	x														1		x
П1 2x 3y dS																									2						1	2							2							1		2						2					x
														2xdxdz 2xdx																	dz 2xdx z																			2xdx									x
																																																										1
																																																										1	2
			AOC										AOC												0						0								0							0								0					2
	2													x 3			2									23												03										8							12 8					4
																	2

						2					2											2												2
		2x x					dx x														2												0												4
		2x x					dx x														2												0												4

	0														3		0										3												3										3							3				3
	0																0																											0		k, dS dxdy
Грань AOB лежит в плоскости z = 0, нормаль к этой грани n																																												0		k, dS dxdy
																																												2
																				1			x																	1	x
																		2		1		2									2					y		2		1	2				2						1					x	2
П 2 ydS										ydxdy dx ydy dx																										y						dx									1					x
																																																					1
																																					2														2		1
			AOB						AOB									0			0										0						2			0					0						2					2
	2			1					x 2						2				1 1									x 2							1							1		2				1					3		2
	2														2																																								2


dx				2	1		x		4			dx								x									8								2		x			4	x				24					x
	0			2					4						0				2 2										8								2					4					24								0
	0														0																																								0
		1			1			2	1				3			1					1					2				1				3												1								1
			2				2					2						0						0									0								1 1
			2				2					2						0						0									0								1 1

	2				4				24							2					4									24																3								3
Грань BOC лежит в плоскости x = 0, нормаль к данной грани																																													n0				i, dS dydz
																																														3

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

		1	1 y	1		1 y
		1	1 y	1
П3 3y 2z dS 3y 2z dydz dy 3y 2z dz dy 3yz z 2
BOC	BOC	0	0	0		0	dy
dy 3y 1 y 1 y 2	3y 3y2	1 2y y2		dy 3y 3y2	1 2y y2		dy
1	1			1
0	0			0

1						2			3	1		2		3			2
						2			3	1		2		3			2
		1 y 2y		2 dy y	y			2y				1	2 1			0
					y			2y			1	1	2 1		0	0
											1				0
					2		3					2	3		2
0					2		3			0		2	3		2
0										0
	9 4		5
		6	6
		6	6

Грань ABC лежит в плоскости x + 2y + 2z = 2 нормаль к этой грани

n 0			i 2 j 2k				i 2 j 2k			i 2 j 2k		i 2 j 2k
n 0
4		12 22 22						1 4 4	9		3
		12 22 22						1 4 4	9		3
Находим частные производные z´x и z´y
				x			1
z x				x			1
	1				y x
	1			2	y x		2
				2			2
				x
z y				x
	1				y y	1
	1			2	y y	1
				2

Применяем формулу (дифференциал поверхности)

2 03		1	2	3	2

	1

3		2	3	2	3
3		2	3	2	3


												dS			1 z 2		z				2 dxdy
																x				y

													2
										1			2	2										1									9						3
dS				1										1 dxdy								1			1 dxdy										dxdy					dxdy
dS				1										1 dxdy								1			1 dxdy										dxdy					dxdy
										2														4									4						2
Тогда
П				1		3					3y 2z 2 2x 3y 2y dxdy																				1				3y 2z 4x 6y 2y dxdy
П	4		3								3y 2z 2 2x 3y 2y dxdy																			2					3y 2z 4x 6y 2y dxdy
			3		2																									2

								ABC																								ABC
	1				4x				11y 2z dxdy									1																	x							1			4x					x 2y dxdy

																							4x			11y 2 1										y dxdy											11y 2
	2 ABC																		2 ABC																2							2	ABC
					1		x																											x
	1	2					2										1	2								9							1	x			1	2						x		9		x	2		x
		2					2											2															1	2				2											2
		dx 3x 9y 2 dy																										2						2
																		dx 3xy									y		2y									dx			3x 1						1			2 1
																		dx 3xy									y		2y									dx			3x 1						1			2 1
	2																2									2											2							2		2		2			2
		0			0													0															0					0
		0			0													0															0					0

1	2			3 2					9						x 2									1	2				3 2			9 9				9x 2							1 2 13			5		3	2

	3x x									1	x							2		x		dx					2x			x				x					2		dx						x		x dx
2	0			2					2							4								2	0				2			2 2					8						2		0 2	2		8
1		13			5x 2				3x 3				2	1			13				5x	2	x 3			2		1	13				5 22		23			1		13				5 02		03
1		13			5x 2				3x 3				2	1			13				5x	2	x 3			2		1	13				5 22		23			1		13				5 02		03
			x																x												2											0
			x																x												2											0
2		2				4			8 3					2			2				4		8					2	2			4			8			2			2				4	8
2		2				4			8 3				0	2			2				4		8			0		2	2			4			8			2			2				4	8
													0													0
1	13 5 1							1	7			7
2	13 5 1						2		7			2
2							2					2

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

Далее находим поток через полную поверхность пирамиды ABCO:

	4	1	5	7	15	7	15 21	6
П П1 П2 П3 П4									1
				2			6	6
	3	3	6		6 2

Вычисление потока векторного поля a(M) б) с помощью формулы Остроградского – Гаусса.

Если S – замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая область V, и Р = Р(x, y, z), Q = Q(x, y, z), R = R(x, y, z) – функции непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области V, то справедлива формула Остроградского – Гаусса

		P	Q	R
П
П				dxdydz
	V	x	y	z

По условию

P 3y 2z P 3y 2z x 0

Q 2x 3y Q 2x 3y y 3

R y R y z 0z

Получаем:

0 3 0 dxdydz 3dxdydz

V V

Пределы интегрирования

0 x 2; 0 y 1 x2 ; 0 z 1 x2 y

Решаем интеграл

												1		x		1		x	y					1			x												1			x
										2		1				1			y			2		1								x					2		1
										2			2					2				2		2						1		x	y				2					2			x
													2					2						2						1			y									2			x
П 3dxdydz 3 dx dy																		dz 3 dx dyz												0		2			3 dx								1			y dy
	V									0			0					0				0		0													0				0				2
	V									0			0					0				0		0													0				0				2
						xy		y			1	x										x		x					x					1				x
2									2		1	2					2																								2

3 dx y					2			2						3 dx 1								2				1								2		1
0					2			2			0						0					2		2					2					2				2
0											0						0
2					x		x x 2						1								x 2						2								x 2			1 x x 2										2	1		x x 2
																								3
																														x
3 dx 1					2										1 x						4							1		x																dx 3			2			dx
0					2		2 4 2														4			0												4 2 2 8												0	2		2 8
										2
	1			x	2		x	3		2						1				22			23								1						02		03									1		3
3		x										3						2							3								0											3		1	1				1
3		x										3						2							3								0											3		1	1				1
																																																3
	2		4				24			0						2				4 24											2						4			24								3		3
							24			0										4 24																				24

Соседние файлы в предмете Математика

#
20.02.2017279.38 Кб292ИДЗ 13.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017274.9 Кб126ИДЗ 13.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017252.34 Кб70ИДЗ 13.3 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017248.61 Кб99ИДЗ 14.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017189.82 Кб47ИДЗ 14.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017305.45 Кб101ИДЗ 15.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017240.54 Кб87ИДЗ 15.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017255.44 Кб499ИДЗ 2.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017248.21 Кб305ИДЗ 2.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017218.55 Кб342ИДЗ 3.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017229.13 Кб226ИДЗ 3.2 Рябушко пример решения.pdf