Добавил:

pmaxim2006 fizmathim.ru Решаю задачи по высшей математике. Фотографии решенных заданий по высшей математике https://fizmathim.ru/photo/ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Павлодарский государственный университет им. С. Торайгырова

Предмет:

Математика

Файл:

ИДЗ 11.3 Рябушко пример решения

.pdf

Скачиваний:

352

Добавлен:

20.02.2017

Размер:

253.32 Кб

Скачать

☆

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

ИДЗ 11.3 – Вариант 0.

1. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.0 а) y΄΄− 3y = 0; б) y΄΄+ 4y΄ + 13y = 0; в) y΄΄+ 5y΄− 6y = 0

а) y΄΄ − 3y = 0

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни: k 2 3 0

k 2 3

k1,2 3

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

y C1ek1x C2 ek2x

Следовательно

y C1e 3x C2e3x

б) y΄΄+ 4y΄ + 13y = 0

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни:

k 2 4k 13	0
D b2 4ac 16 4 1 13 16 52 36					(D 0)
k1,2 b			4 6i
k1,2 b		D ; k1,2	4 6i	2 3i;
2a			2

Общее решение однородного уравнения запишется в виде: y e x C1 cos x C2 sin x

Так как 2; 3. Следовательно

y e 2x C1 cos 3x C2 sin 3x

в) y΄΄+ 5y΄− 6y = 0

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни:

k 2 5k 6 0
D b2 4ac 25 4 1 6				49			(D 0)

k1,2 b D	;	k1	5 7		1;	k 2		5 7	6
2a			2					2

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

y C1ek1x C2 ek2x

Следовательно

y C1ex C2e 6x

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

2. Найти общее решение дифференциального уравнения.

2.0 y′′ − y′ + 2y = ex(x2 – 1)

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни:

k 2 k 2 0
D b2 4ac 1 4 1 2 1 8 7						(D 0)

k1,2	1 7i	1		7	i;
k1,2		2			i;
2		2	2

Общее решение однородного уравнения для данного вида запишется:

e x C cos x C

sin x

Следовательно

e 2 C cos

x C

sin

По функции f x ex x 2 1 , стоящей в правой части исходного уравнения, записываем структуру его

частного решения

y* – частное решение неоднородного

общ

где y - общее решение однородного уравнения,

уравнения

Частное решение уравнения будем искать в виде

Pm x cos bx Qm

x sin bx

r 0;

a 1;

b 0

Тогда частное решение:

y* ex Ax2 Bx C

y *

ex Ax2

Bx C ex 2Ax B

y *

ex Ax2

Bx C 2ex 2Ax B 2Aex

Подставляем в исходное уравнение:

Ax2

Bx C 2ex 2Ax B 2Aex ex Ax2 Bx C ex 2Ax B 2ex Ax2 Bx C

x 2 1

2ex Ax2

Bx C ex x 2 1

ex 2Ax B 2Aex

2Axe x Bex

2Aex

2Ax2 ex

2Bxe x 2Ce x x 2 ex ex

2Ax2 ex

x 2 ex

2A 1 A

2Axe x 2Bxe x

0 2A 2B 0 1 2B 0 B

Bex 2Aex

2Ce x

ex B 2A 2C 1

1 2C 1 2C

Частное решение получим:

Общее решение уравнения

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

			x										x 1				3
			x			7				7					2	x
						7				7					2	x
y	общ	e 2		C cos			x C	2	sin		x	e		x
y		e 2		C cos			x C		sin		x	e		x
					1	2				2			2			2	4
						2				2			2			2	4

3. Найти общее решение дифференциального уравнения.

3.0 y′′ + y = 2cos7x – 3sin7x

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни: k 2 1 0

k1,2 i;

0; 1

Общее решение однородного уравнения для данного вида запишется:

y e x C1 cos x C2 sin x

Следовательно

~	C1 cos x C2
y	C1 cos x C2		sin x
По функции f x 2cos 7x 3sin 7x , стоящей в правой части исходного уравнения, записываем
структуру его частного решения
		~	~
y	общ	y y* где	y - общее решение однородного уравнения, y* – частное решение неоднородного
	общ

уравнения Частное решение уравнения будем искать в виде

y	*		r	e	ax ~	~
y		x		e	Pm x cos bx Qm x sin bx

r 0;			a 0;			b 7

Тогда частное решение: y* A cos 7x Bsin 7x 1 y* A cos 7x Bsin 7x

0y * 7A sin 7x 7B cos 7x

1y * 49A cos 7x 49Bsin 7x

Подставляем в исходное уравнение:

49A cos 7x 49Bsin 7x A cos 7x Bsin 7x 2 cos 7x 3sin 7x

48A cos 7x 48Bsin 7x 2 cos 7x 3sin 7x

Найдем значения коэффициентов А, В:

48A cos 7x 2 cos 7x 48A 2 A 241

48Bsin 7x 3sin 7x 48B 3 B 161

Частное решение, получим:

y* 241 cos 7x 161 sin 7x

Общее решение уравнения

yобщ C1 cos x C2 sin x 241 cos 7x 161 sin 7x

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.

4.0 y΄΄ – 7y΄ = (x – 1)2, y(0) = 1, y΄(0) = 0

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни: k 2 k 0

k k 7 0

k1 0; k 7 0

k 2 7

Общее решение однородного уравнения для данного вида запишется:

y C1ek1x C2ek2x

Следовательно

~	C C			e7x
y	C C		2	e7x
		1	2
По функции f x x 1 2					x 2 2x 1, стоящей в правой части исходного уравнения, записываем
структуру его частного решения
		~		~
y	общ	y y* где y - общее решение однородного уравнения, y* – частное решение неоднородного
	общ

уравнения Частное решение уравнения будем искать в виде

y	*		r	e	ax ~	~
y		x		e	Pm x cos bx Qm x sin bx

r 1;			a 0;			b 0

Тогда частное решение:

y* x Ax2 Bx C Ax3 Bx2 Cx

0y* Ax3 Bx 2 Cx

7 y * 3Ax2 2Bx C

1y * 6Ax 2B

Подставляем в исходное уравнение:

6Ax 2B 21Ax2 14Bx 7C x2																						2x 1
21Ax2 x 2 21A 1 A																						1
21Ax2 x 2 21A 1 A																						21
																						21
6Ax 14Bx 2x 6A 14B 2																										6		14B 2 14B 2										2	14B	12	B	6
6Ax 14Bx 2x 6A 14B 2																												14B 2 14B 2											14B		B
																										21												7		7		49
2B 7C 1								12			7C 1 7C 1													12			7C					37		C			37
2B 7C 1											7C 1 7C 1																7C							C
								49														49										49					343
Частное решение получим:
y*			1	x		3		6		x 2				37			x
y*				x		3				x 2							x
		21					49							343
Общее решение уравнения
y		C C						e7x					1		x3				6	x 2			37		x
y	общ	C C					2	e7x							x3					x 2					x
	общ	1					2	21											49			343
								21											49			343
Учитывая начальные условия: y(0) = 1, y΄(0) = 0
y		7C				e7x			3			x 2				12		x			37	7C					e7x			2	x 2		12		x	37
y		7C			2	e7x						x 2						x				7C				2	e7x				x 2				x
	общ				2			21						49					343							2			7			49			343
								21						49					343										7			49			343

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

5. Определить и записать структуру частного решения y* линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду функции f(x)

5.0 yʹʹ – 3yʹ + 2y = f(x); а) f(x) = x + 1; б) f(x) = 10e2x

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни:

k 2 3k 2 0
D b2 4ac 9 4 1 2 9 8 1										(D 0)

k		b D	; k			3 1		4	2; k			3 1		2	1
k	1,2	b D	; k	1					2; k	2					1
	1,2	2a		1	2		2			2	2		2
		2a			2		2				2		2

Общее решение однородного уравнения для данного вида запишется:

y C1ek1x C2 ek2x

Следовательно

y C1e2x C2 ex

а) При f(x) = x + 1

Частное решение: y Ax B

б) При f(x) = 10e2x

Частное решение: y Axe 2x

Здесь появляется множитель x, сравнивая с общим решением e2x

Соседние файлы в предмете Математика

#
20.02.2017269.65 Кб180ИДЗ 1.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017240.76 Кб272ИДЗ 10.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017266.77 Кб231ИДЗ 10.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017246.2 Кб214ИДЗ 11.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017259.31 Кб150ИДЗ 11.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017253.32 Кб352ИДЗ 11.3 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017273.13 Кб87ИДЗ 11.4 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017255.42 Кб291ИДЗ 12.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017291.86 Кб220ИДЗ 12.2 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017279.38 Кб298ИДЗ 13.1 Рябушко пример решения.pdf
#
20.02.2017274.9 Кб127ИДЗ 13.2 Рябушко пример решения.pdf