Добавил:
fizmathim.ru Решаю задачи по высшей математике. Фотографии решенных заданий по высшей математике https://fizmathim.ru/photo/ Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ИДЗ 11.3 Рябушко пример решения

.pdf
Скачиваний:
348
Добавлен:
20.02.2017
Размер:
253.32 Кб
Скачать

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

ИДЗ 11.3 – Вариант 0.

1. Найти общее решение дифференциального уравнения.

1.0 а) y΄΄− 3y = 0; б) y΄΄+ 4y΄ + 13y = 0; в) y΄΄+ 5y΄− 6y = 0

а) y΄΄ − 3y = 0

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни: k 2 3 0

k 2 3

k1,2 3

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

y C1ek1x C2 ek2x

Следовательно

y C1e 3x C2e3x

б) y΄΄+ 4y΄ + 13y = 0

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни:

k 2 4k 13

0

 

 

 

 

D b2 4ac 16 4 1 13 16 52 36

(D 0)

k1,2 b

 

 

 

 

4 6i

 

 

 

D ; k1,2

 

2 3i;

 

2a

 

 

 

 

2

 

 

i

Общее решение однородного уравнения запишется в виде: y e x C1 cos x C2 sin x

Так как 2; 3. Следовательно

y e 2x C1 cos 3x C2 sin 3x

в) y΄΄+ 5y΄− 6y = 0

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни:

k 2 5k 6 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D b2 4ac 25 4 1 6

49

 

 

(D 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k1,2 b D

;

k1

5 7

1;

k 2

 

5 7

6

2a

 

 

2

 

 

 

 

2

 

Общее решение однородного уравнения запишется в виде:

y C1ek1x C2 ek2x

Следовательно

y C1ex C2e 6x

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

2. Найти общее решение дифференциального уравнения.

2.0 y′′ − y′ + 2y = ex(x2 – 1)

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни:

k 2 k 2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

D b2 4ac 1 4 1 2 1 8 7

(D 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k1,2

1 7i

 

 

1

 

 

7

i;

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

2

 

 

 

i

Общее решение однородного уравнения для данного вида запишется:

~

e x C cos x C

 

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следовательно

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

e 2 C cos

 

 

 

x C

 

sin

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

По функции f x ex x 2 1 , стоящей в правой части исходного уравнения, записываем структуру его

частного решения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

y*

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y* – частное решение неоднородного

y

общ

y

где y - общее решение однородного уравнения,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Частное решение уравнения будем искать в виде

 

 

 

 

 

y

*

 

 

 

 

 

r

e

ax

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

~

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

Pm x cos bx Qm

x sin bx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r 0;

a 1;

 

b 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда частное решение:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y* ex Ax2 Bx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

y* ex Ax2 Bx C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

y *

ex Ax2

Bx C ex 2Ax B

 

 

 

 

 

1

 

y *

ex Ax2

 

Bx C 2ex 2Ax B 2Aex

 

 

 

 

 

Подставляем в исходное уравнение:

 

 

 

 

 

ex

Ax2

Bx C 2ex 2Ax B 2Aex ex Ax2 Bx C ex 2Ax B 2ex Ax2 Bx C

ex

x 2 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2ex Ax2

Bx C ex x 2 1

 

 

 

 

 

ex 2Ax B 2Aex

 

 

 

 

 

2Axe x Bex

2Aex

 

2Ax2 ex

 

2Bxe x 2Ce x x 2 ex ex

 

 

 

 

 

2Ax2 ex

x 2 ex

 

 

2A 1 A

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2Axe x 2Bxe x

 

 

0 2A 2B 0 1 2B 0 B

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Bex 2Aex

2Ce x

ex B 2A 2C 1

1

1 2C 1 2C

3

C

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

4

 

Частное решение получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*

 

 

e

x

 

1

 

2

 

 

x

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

2

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общее решение уравнения

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 1

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

7

 

 

 

 

7

 

 

 

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

общ

e 2

C cos

 

 

 

x C

2

sin

 

 

 

x

e

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

2

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Найти общее решение дифференциального уравнения.

3.0 y′′ + y = 2cos7x – 3sin7x

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни: k 2 1 0

k1,2 i;

i

0; 1

Общее решение однородного уравнения для данного вида запишется:

~

y e x C1 cos x C2 sin x

Следовательно

~

C1 cos x C2

 

y

sin x

По функции f x 2cos 7x 3sin 7x , стоящей в правой части исходного уравнения, записываем

структуру его частного решения

 

 

~

~

y

общ

y y* где

y - общее решение однородного уравнения, y* – частное решение неоднородного

 

 

 

уравнения Частное решение уравнения будем искать в виде

y

*

 

r

e

ax ~

~

 

 

x

Pm x cos bx Qm x sin bx

 

 

 

 

 

 

 

 

r 0;

a 0;

b 7

 

Тогда частное решение: y* A cos 7x Bsin 7x 1 y* A cos 7x Bsin 7x

0y * 7A sin 7x 7B cos 7x

1y * 49A cos 7x 49Bsin 7x

Подставляем в исходное уравнение:

49A cos 7x 49Bsin 7x A cos 7x Bsin 7x 2 cos 7x 3sin 7x

48A cos 7x 48Bsin 7x 2 cos 7x 3sin 7x

Найдем значения коэффициентов А, В:

48A cos 7x 2 cos 7x 48A 2 A 241

48Bsin 7x 3sin 7x 48B 3 B 161

Частное решение, получим:

y* 241 cos 7x 161 sin 7x

Общее решение уравнения

yобщ C1 cos x C2 sin x 241 cos 7x 161 sin 7x

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

4. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее данным начальным условиям.

4.0 y΄΄ – 7y΄ = (x – 1)2, y(0) = 1, y΄(0) = 0

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни: k 2 k 0

k k 7 0

k1 0; k 7 0

k 2 7

Общее решение однородного уравнения для данного вида запишется:

~

y C1ek1x C2ek2x

Следовательно

~

C C

 

e7x

 

y

2

 

 

 

1

 

 

По функции f x x 1 2

x 2 2x 1, стоящей в правой части исходного уравнения, записываем

структуру его частного решения

 

 

~

 

~

 

y

общ

y y* где y - общее решение однородного уравнения, y* – частное решение неоднородного

 

 

 

 

 

уравнения Частное решение уравнения будем искать в виде

y

*

 

r

e

ax ~

~

 

 

x

Pm x cos bx Qm x sin bx

 

 

 

 

 

 

 

 

r 1;

a 0;

b 0

 

Тогда частное решение:

y* x Ax2 Bx C Ax3 Bx2 Cx

0y* Ax3 Bx 2 Cx

7 y * 3Ax2 2Bx C

1y * 6Ax 2B

Подставляем в исходное уравнение:

6Ax 2B 21Ax2 14Bx 7C x2

2x 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21Ax2 x 2 21A 1 A

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6Ax 14Bx 2x 6A 14B 2

6

14B 2 14B 2

2

14B

12

B

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

 

7

 

49

2B 7C 1

12

7C 1 7C 1

12

7C

37

C

37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

49

 

 

 

 

 

49

 

 

 

343

 

 

 

 

 

 

Частное решение получим:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y*

1

x

3

 

6

 

x 2

37

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

49

 

 

 

 

343

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общее решение уравнения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

C C

 

 

e7x

1

 

x3

6

x 2

37

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

общ

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

21

 

 

 

49

 

 

 

343

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Учитывая начальные условия: y(0) = 1, y΄(0) = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

7C

 

e7x

 

3

x 2

 

12

x

37

 

7C

 

e7x

 

2

x 2

 

12

x

37

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

общ

 

 

 

 

 

 

21

 

49

 

343

 

 

 

 

 

 

 

7

 

49

343

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Наш сайт: Fizmathim.ru

Группа ВКонтакте https://vk.com/fizmathim_resh

Перейти на Готовые решения ИДЗ Рябушко (по вариантам)

Решение задач по высшей математике на заказ

5. Определить и записать структуру частного решения y* линейного неоднородного дифференциального уравнения по виду функции f(x)

5.0 yʹʹ – 3yʹ + 2y = f(x); а) f(x) = x + 1; б) f(x) = 10e2x

Составим характеристическое уравнение, найдем его корни:

k 2 3k 2 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D b2 4ac 9 4 1 2 9 8 1

(D 0)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k

 

b D

; k

 

 

3 1

 

4

2; k

 

 

3 1

 

 

2

1

1,2

1

 

 

2

 

 

 

2a

 

2

2

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Общее решение однородного уравнения для данного вида запишется:

~

y C1ek1x C2 ek2x

Следовательно

~

y C1e2x C2 ex

а) При f(x) = x + 1

^

Частное решение: y Ax B

б) При f(x) = 10e2x

^

Частное решение: y Axe 2x

Здесь появляется множитель x, сравнивая с общим решением e2x