Теория Бора для водородоподобных систем

Первый постулат Бора:

Существует стационарные состояния атома, находясь в котором он не излучает энергию.

Для таких состояний электрон в атоме, двигаясь по круговой орбите, должен иметь квантованные значения момента импульса

Число n– номер состояния, оно называется главным квантовым числом.

Второй постулат Бора:

При переходе атома из стационарных состояний с номером hв стационарном состоянии с номеромmиспускается или поглощается Один фотон с энергией (правило отбора)

Обобщенная сериальная формула Бальмера

Эта формула определяет длину волны света, излучаемого или поглощаемого атомом водорода (водородоподобным ионом) при переходе из одного стационарного состояния в другое.

Волна Де Бройля

Гипотеза Де Бройля

Любая свободно движущаяся частица с энергией Е и импульсом р обладает волновыми свойствами (а не только фотоны)

Частота волны Де Бройля и ее волновой векторсвязаны с корпускулярными характеристиками частицыEиp

Вне релятивистском приближении, когда скорость частицы мала по сравнению со скоростью света, длина волны Де Бройля равна

С – скорость света.

Принцип неопределенности Гейзенберга

Координате Х и соответствующая проекция импульса частицы P(x) не могут одновременно иметь определенных фиксированных значений

Нельзя одновременно измерить xиp!

Соотношение неопределенностей для энергии и времени

Нет понятия траектории в квантовой механике.

Волна Де Бройля – волна вероятности

Уравнение Шредингера

Шредингер описал уравнение частиц с помощью пси-функции

В стационарном случае u– потенциальная энергия

Уравнение Шредингера для стационарных состояний (не зависящих от t):

Решением этого уравнения является малая пси функция

Квадрат модуля пси функции определяет вероятность того, что частица будет обнаружена в пределах объема dV

Вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке пространства = 1, следовательно

Квадрат модуля пси функции дает плотность вероятностей нахождения частицы в соответствующем месте пространства

Пси функцию называют волновой функцией

Описание движения свободной частицы

При движения свободной частицы u(x)=0

Уравнение Шредингера для нее имеет вид:

Для энергии получаем, что спектр энергии непрерывен.

У свободной частицы энергия может принимать любое значение

В случае одномерного движения вероятность обнаружить частицы на участке траектории от xдоx+dx:

Для свободной частицы

Для нее же

С одной стороны, свободная частица описывается как бы частицей с массой mи скоростьюv, а с другой – плоской волной с частотой

В этом заключается корпускулярно-волновой дуализм свободной частицы

Частица в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме

Рассмотрим движение частицы вдоль оси х. Пусть движение частицы ограничено непроницаемыми стенками. При х=0 и х=l

Формула для потенциальной энергии примет вид:

Уравнение Шредингера (стационарное в этом случае) имеет вид:

Граничные условия -

В области

Это уравнение имеет решение:

Энергия квантуется

Дискретна

Вероятность пребывания частицы в области выражается:решение которого есть

     

Уровни энергии частицы в потенциальной яме

(4.16)

Важной особенностью полученного энергетического спектра (4.16) является его дискретность. Частица, находящаяся в потенциальной яме, может иметь только дискретные, квантованные, значения энергии, определяемые выражением (4.16)(см.рис.4.2) . Отметим, что решение

     уравнения Шредингера само по себе к квантованию энергии не приводит, квантование возникает из-за граничных условий, накладываемых на волновую функцию, т.е. из-за равенства нулю волновой функции на границе потенциальной ямы.

     Число в(4.16) , определяющее энергию частицы в яме, называется квантовым числом, а соответствующее ему значение- уровнем энергии. Состояние частицы с наименьшей энергией, в данном случае с, называетсяосновным состоянием. Все остальные состояния являются возбужденными: значение отвечает первому возбужденному состоянию, значение- второму возбужденному состоянию и т.д.

     Следует отметить, что минимальное значение энергии частицы, находящейся в основном состоянии, отлично от нуля. Этот результат согласуется с соотношением неопределенностей и является общим для всех задач квантовой механики. В классической механике минимальную энергию, равную нулю, имеет покоящаяся в яме частица. Такого состояния покоя у квантовой частицы не существует.