Литература / 005_Neuman_TOE_v1_2003

Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля 51

С другой стороны,

E d l E ñòàò d l E ñòîð d l e,

AmBnA

òàê êàê

E ñòàò d l 0, à E ñòîð d l E ñòîð d l e.

BnA

Следовательно,

eU A U B ,

ò.å. электродвижущая сила элемента равна разности потенциалов или, ÷òî â äàí-

ном случае одно и то же, напряжению на его зажимах при разомкнутой внешней цепи (при отсутствии тока в цепи).

Из сказанного видно, что условие E d l 0 справедливо только в области про-

странства вне источников ЭДС.

В примере с гальваническим элементом при отсутствии тока результирующее поле (при макроскопическом рассмотрении явления) внутри элемента всюду отсутствует, что является следствием действия неэлектростатических, в данном слу- чае электрохимических, причин. Соответственно напряжение вдоль пути BnA внутри элемента при отсутствии тока равно нулю.

Введение понятия стороннего электрического поля как составляющей результирующего поля и, соответственно, понятия ЭДС e E ñòîð d l имеет смысл в том

отношении, что именно этой ЭДС определяется работа, затрачиваемая на перенесение обладающих зарядами элементарных частиц, связанная с электрохимиче- скими процессами. Следовательно, именно ЭДС характеризует при прохождении тока преобразование энергии внутри элемента. В связи с этим, говоря об

èс т о ч н и к а х ЭДС, будем употреблять также термин и с т о ч н и к э н е р г и и. Весьма важным обстоятельством является то, что ЭДС элемента почти не за-

висит от электрического тока в его цепи.

Электродвижущие силы возникают также при соприкосновении разнородных металлов. В этом случае возникновение ЭДС, называемых к о н т а к т н ы м и ЭДС, связано с переходом электронов проводимости в месте контакта из одного металла в другой и образованием вследствие этого в одном металле избыточного положительного, в другом — избыточного отрицательного электрического заряда. Этот переход электронов может рассматриваться как результат действия в месте контакта стороннего электрического поля, имеющего неэлектростатиче- ский характер. Появление на соприкасающихся металлах зарядов разных знаков приводит к возникновению так называемой контактной разности потенциалов, равной при отсутствии тока контактной ЭДС. Контактная ЭДС зависит от рода соприкасающихся металлов и от температуры.

Последнее обстоятельство используется в так называемых термоэлементах. Если составить замкнутую цепь из двух разнородных проводников, то при различных температурах t è t0 двух мест спаев этих проводников контактные ЭДС в местах спаев будут различными и не будут взаимно компенсироваться вдоль цепи. В итоге в замкнутой цепи будет действовать результирующая ЭДС, назы-

52 Часть 1. Основные понятия и законы теории

ваемая т е р м о э л е к т р о д в и ж у щ е й с и л о й. В общее значение термоэлектродвижущей силы войдут также еще дополнительные ЭДС, которые возникают вдоль каждого из двух однородных проводников вследствие того, что один конец их находится в среде более высокой температуры, чем другой. Эти дополнительные ЭДС являются результатом некоторого перехода электронов проводимости от более нагретого конца проводника к менее нагретому вследствие того, что интенсивность теплового движения электронов возрастает с увеличе- нием температуры.

Âтермоэлементе действие ЭДС при прохождении тока связано с преобразованием тепловой энергии в электромагнитную. Обычно применяемые термопары имеют ЭДС порядка нескольких милливольт или десятых милливольта при температурах холодного и горячего спаев соответственно 0 и 100 °С.

Âследующих параграфах понятие «электродвижущая сила» будет расширено включением в него ЭДС, индуцируемых при изменении во времени магнитного потока, и тогда будет дано общее определение этого важного понятия.

Обратим особое внимание на то, что при определении ЭДС, как уже было сказано, путь интегрирования берется внутри источника энергии от отрицатель-

ния на его зажимах B è A интегрирование ведется по пути âíå источника от положительного зажима к отрицательному:

uAB U A U B E d l.

AmB

1.9. Магнитный поток. Принцип непрерывности магнитного потока

Поток вектора магнитной индукции сквозь некоторую поверхность s (рис. 1.23) называют кратко м а г н и т н ы м п о т о к о м сквозь эту поверхность и обозна- чают !. Имеем

! B cos ds B d s.

s s

Магнитная индукция является плотностью магнитного потока в данной точ- ке поля. Действительно, проведя поверхность нормально к вектору B, будем иметь cos 1; d! B ds; B d!/ds.

Единицей магнитного потока является вебер (Вб). Единицей магнитной индукции — тесла, равная веберу на квадратный метр (1 Òë 1 Âá/ì2).

Линиями магнитной индукции называют линии, проведенные так, чтобы касательные к ним в каждой их точке совпадали по направлению с вектором B. Эти линии изображают со стрелками, указывающими направление вектора B.

Часть пространства, ограниченная трубчатой поверхностью, образованной совокупностью линий магнитной индукции, называется т р у б к о й м а г н и т н о й и н д у к ц и и.

Можно представить все магнитное поле подразделенным на трубки магнитной индукции и условиться изображать каждую такую трубку одной линией магнитной индукции, совпадающей с осью трубки.

Трубки магнитной индукции, поток сквозь поперечное сечение которых равен единице, называются е д и н и ч н ы м и т р у б к а м и. Соответственно линии магнитной индукции, изображающие единичные трубки, называются е д и н и ч - н ы м и л и н и я м и м а г н и т н о й и н д у к ц и и.

Принцип непрерывности магнитного потока, имеющий в теории электромагнитных явлений фундаментальное значение, гласит, что линии магнитной индукции нигде не имеют ни начала, ни конца — они всюду непрерывны.

Мы убеждаемся в справедливости этого важного принципа во всех без исклю- чения случаях, когда магнитное поле существует в воздухе или вообще в такой среде, в которой поле может быть непосредственно исследовано опытным путем. Так, например, линии магнитной индукции около прямолинейного провода с током являются окружностями, имеющими центры на оси провода (рис. 1.24). Направление линий связано с направлением тока правилом правого винта. На рис. 1.24 изображено нормальное сечение провода, причем ток уходит от наблюдателя, что показано косым крестом, изображающим хвост стрелки. В том слу- чае, когда ток направлен на наблюдателя, ставят условную точку, изображающую острие стрелки.

Как бы ни была сложна форма контура электрического тока, линии магнитной индукции, окружающие этот контур, всегда оказываются непрерывными. В виде примера можно указать поле соленоида с током, картина линий которого изображена на рис. 1.25.

Требует особого рассмотрения вопрос о непрерывности линий магнитной индукции в том случае, когда в магнитном поле расположены твердые тела и мы лишены возможности непосредственно исследовать поле внутри этих тел. Так, например, поле постоянного магнита изучить непосредственно опытным путем можно только в простран-

стве вне магнита. Поэтому необходимо установить на основе каких-либо дополнительных фактов или каких-либо соображений, продолжаются ли линии магнитной индукции и внутри тела самого магнита. Действительно, существование поля вне магнита можно было бы объяснить наличием на поверхности полюсов магнита особых источников магнитного поля, называемых м а г н и т н ы м и м а с с а м и. Согласно такому представлению, на северном полюсе магнита, где, как нам кажется, начинаются линии магнитной индукции, должна быть расположена положительная магнитная масса, и на южном, где линии кончаются — отрицательная магнитная масса. Такое представление о природе магнитных явлений и сложилось историче- ски до эпохи, началом которой явилось открытие магнитного поля электрических токов.

54 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Если бы поле создавалось магнитными массами m, то поле внутри магнита должно было бы выглядеть так, как это изображено на рис. 1.26, — линии магнитной индукции внутри магнита, так же как и вне его, оказались бы направленными от северного полюса к южному.

В настоящее время намагниченность магнита, или вообще намагниченность тела, объясняют существованием элементарных токов внутри вещества тела, являющихся результатом движения электронов по орбитам в атомах, а также существованием магнитных моментов элементарных частиц. Хотя внутреннее строение элементарных частиц и, соответственно, природа их магнитных моментов в настоящее время еще не изучены, но можно высказать предположение, что и магнитные моменты элементарных частиц являются результатом внутреннего движения в этих частицах, имеющего характер электрических

токов.

Ðèñ. 1.26 Ðèñ. 1.27 Исходя из этих представлений, приходим к заключению, что внутри магнита линии магнитной индукции должны идти так же, как в соленоиде (см. рис. 1.25), — они

должны представлять собой продолжение линий, расположенных вне магнита. Такая правильная картина поля изображена на рис. 1.27.

Эти соображения приводят к выводу, что магнитных масс в действительности не существует. Такой вывод подтверждается опытом с ломанием магнита. На какие бы мелкие части ни дробили магнит, никогда невозможно получить такие его части, на которых наблюдалось бы наличие избытка магнитной массы одного знака.

Все эти соображения остаются в силе по отношению к любому телу, через которое проходит магнитный поток.

Èòàê, магнитное поле всегда связано с электрическим током. Во всех без исключения случаях линии магнитной индукции непрерывны.

Математически принцип непрерывности магнитного потока формулируется следующим образом:

Bd s 0,

s

ò. å. магнитный поток сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю.

Применяя уравнение Bd s 0 к поверхности произ-

s

1.10. Закон электромагнитной индукции

Явление электромагнитной индукции открыто в 1831 г. Фарадеем, который в итоге серии опытных исследований установил основной закон, характеризующий это явление количественно.

Рассмотрим замкнутый контур abcda из тонкого проводника, расположенный во внешнем магнитном поле (рис. 1.29). Пусть ! — магнитный поток сквозь поверхность s, ограниченную этим контуром. Предположим, что этот контур перемещается за время dt в магнитном поле так, что каждый его элемент dl проходит путь d , после чего контур занимает новое положение a b c d a . Сквозь поверхность [ d dl], очерчиваемую элементом dl при его движении, проходит магнитный поток

B[d dl] [d B] dl.

Магнитный поток d!, проходящий через всю поверхность ds полоски, очер- чиваемую всем контуром abcda при его перемещении,

где означает интеграл по замкнутому контуру abñda.

l

Вместе с проводником переносятся находящиеся в нем свободные электриче- ски заряженные частицы. При движении в магнитном поле со скоростью v d /dt частицы с электрическим зарядом q на нее действует со стороны магнитного поля механическая сила (см. § 1.3)

В соответствии со сказанным в § 1.3 движущийся вместе с проводником наблюдатель, для которого частицы с зарядом q неподвижны, воспринимает эту силу как результат действия на частицы электрического поля с напряженностью

Назовем это электрическое поле индуктированным электрическим полем и будем обозначать его напряженность Eèíä. Интеграл величины Eèíä вдоль рассматриваемого нами контура равен

Åñëè ïîä d понимать путь, проходимый элементом dl за время dt, одинаковое для всех элементов контура, то величину dt можно вынести за знак интеграла, и будем иметь

56 Часть 1. Основные понятия и законы теории

или согласно выражению (*)

Этот вывод был сделан в предположении, что контур abcda движется во внешнем магнитном поле, т. е. движется по отношению к источникам этого магнитного поля — постоянным магнитам или проводникам с током, создающим это поле.

Однако в контуре abcda индуцируется ЭДС и в том случае, когда контур неподвижен и поток ! изменяется вследствие движения источников магнитного поля — постоянных магнитов или проводников с токами или же вследствие изменения токов в проводниках, создающих это поле. Важно лишь, чтобы было относительное движение контура и внешнего магнитного поля, приводящее к изменению потока !.

В § 1.8 было высказано общее положение, что если линейный интеграл напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура не равен нулю, то в контуре действует ЭДС, равная этому интегралу. Таким образом, последнее равенство свидетельствует, что во всех случаях, когда магнитный поток !, проходящий сквозь поверхность, ограниченную некоторым контуром, изменяется во времени, в этом контуре индуцируется ЭДС, равная взятой со знаком минус скорости изменения этого потока:

Это уравнение и выражает закон электромагнитной индукции в формулировке, данной Максвеллом.

В общем случае поток ! является функцией геометрических координат контура и времени, и можно написать

где составляющая )!)t определяется изменением магнитного поля во времени, т. е. изменением потока ! в неподвижном контуре, а составляющая [vB]dl

l

определяется движением контура в магнитном поле. Соответственно, и вели- чина [vB] представляет собой только одну составляющую напряженности Eèíä индуцированного электрического поля, определяемую движением элемента dl во внешнем поле со скоростью v. Можно было бы определить всю величину Eèíä из аналогичной формулы:

E èíä [v B],

но величина v здесь уже должна представлять не скорость v элемента dl в рассматриваемой системе координат, а его скорость относительно магнитного поля.

Мы предполагали, что контур abcda образован тонким проводником. Максвелл обобщил равенство (**) на контур, расположенный в любой среде. Мы также считаем это равенство справедливым для любого замкнутого контура, не обязательно образованного проводником. В общем случае этот контур может быть и воображаемым контуром, расположенным целиком в диэлектрике или частич- но в проводящей среде и частично в диэлектрике. Во всех без исключения слу- чаях при изменении во времени магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную любым контуром, в последнем возникает ЭДС. В проводящей среде ЭДС может вызвать токи проводимости, в диэлектрике переменная ЭДС вызывает токи электрического смещения. При таком обобщении равенство (**) свидетельствует, что при изменении во времени магнитного поля появляется в том же пространстве связанное с ним электрическое поле, причем электрическое напряжение вдоль любого замкнутого контура равно ЭДС, индуцируемой в этом контуре.

Ïî ñóòè äåëà, оба эти поля — магнитное и электрическое — являются при этом двумя сторонами единого электромагнитного поля.

Понимаемое в таком широком смысле уравнение (**) является одним из основных уравнений электромагнитного поля.

В случае, когда контур образован проводником, в нем под действием ЭДС возникает ток проводимости, и этот ток создает вокруг контура свое магнитное поле. При этом ! в выражении (**) является потоком, созданным внешними источниками и током i в самом контуре. Если в контуре нет других источников ЭДС, а именно сторонних ЭДС, рассмотренных в § 1.8, то и для напряженности результирующего поля E имеем

d!

E èíä dl dt .

Величина E èíä dl есть сумма падений напряжения вдоль всего замкнутого кон-

тура, равная току i в контуре, умноженному на электрическое сопротивление r контура. Следовательно, в этом случае

ir ddt!

èëè i dt r – d!, r dq – d!, ò. å. dq – d!/r.

Для конечного изменения потока на величину ! получаем

q !r .

В этой форме закон электромагнитной индукции и был установлен экспериментально Фарадеем.

Приведенные формулировки предполагают изменение потока ! сквозь поверхность s, ограниченную контуром, в котором индуцируется ЭДС. Так как конечная незамкнутая поверхность ограничивается всегда замкнутым контуром, то только по отношению к замкнутым контурам, но отнюдь не к их отрезкам, применимы вышеприведенные формулировки.

58 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Линии магнитной индукции всюду непрерывны. Поэтому линия магнитной индукции может войти внутрь контура индуцированного тока или выйти из него, только пересекая где-либо контур. Таким образом, изменение ! потока, охватываемого контуром, должно равняться числу единичных линий магнитной индукции N, пересеченных контуром: ! N и также d dN.

Закон электромагнитной индукции может быть представлен теперь в формах

ò. å. электродвижущая сила, индуцируемая в контуре, равна скорости пересече- ния контура единичными линиями магнитной индукции, взятой с обратным знаком.

Эту формулировку закона электромагнитной индукции будем называть фарадеевой формулировкой, так как она связана с основной идеей Фарадея о пересечении проводника магнитными линиями.

В применении к замкнутым контурам формулировки Максвелла и Фарадея тождественны, и для ЭДС, возникающей в замкнутом контуре, всегда можно на-

писать

e ddt! dNdt .

Однако, если максвеллово выражение для индуцированной ЭДС по своему существу может быть применено только к замкнутым контурам, то фарадеево выражение для ЭДС, в котором все внимание обращается на акт пересечения контура единичными линиями магнитной индукции, может быть применено и к отрезкам контура. В этом отношении последнее выражение оказывается более универсальным.

Пусть отрезок проводника dl движется с произвольно направленной скоростью v в общем случае в неоднородном, неизменном во времени магнитном поле. Пусть B есть вектор магнитной индукции в месте расположения отрезка dl в данный момент времени (рис. 1.30). ЭДС, индуцируемая на отрезке dl,

de E èíä dl [vB]dl.

В данном частном случае, когда прямолинейный проводник длиной l движется со скоростью v в однородном магнитном поле так, что направления величин l, B è v взаимно перпендикулярны, получаем для индуцируемой в отрезке l ЭДС выражение

e vBl.

Направление ЭДС можно определить, пользуясь правилом правой руки. Если большой, указательный и средний пальцы правой руки расположить взаимно перпендикулярно и так, чтобы большой палец был направлен в сторону движения, а указательный — в сторону поля, то средний палец будет указывать направление ЭДС. Это правило легко запоминается, если обратить

внимание на то, что порядок пальцев на руке — большой, указательный, средний — соответствует порядку по алфавиту начальных букв слов: движение, поле, ЭДС или движение, поле, ток.

1.11. Потокосцепление. ЭДС самоиндукции и взаимной индукции. Принцип электромагнитной инерции

Магнитный поток ! сквозь поверхность s, ограниченную контуром, например контуром проводящей цепи, равен поверхностному интегралу вектора магнитной индукции, распространенному по поверхности s: ! B d s. Это выражение

s

справедливо для любой поверхности, ограниченной сколь угодно сложным контуром. В общем случае такая поверхность может иметь весьма сложную форму. Так, на рис. 1.31 штриховкой показана поверхность, «натянутая» на контур, расположенный по винтовой линии и образующий катушку из трех витков. Отдельные линии магнитной индукции пронизывают эту поверхность несколько раз: линии 4, 5, 6, 7 è 8 — три раза, линия 3 — äâà ðàçà.

Целесообразно в таких сложных случаях ввести понятие о п о т о к о с ц е п - л е н и и . Термин «потокосцепление» необходимо ввести в связи с тем, что отдельные линии магнитной индукции несколько раз сцепляются со всем контуром. Значение можно получить, умножая поток каждой единичной линии магнитной индукции на число витков цепи, с которыми она сцепляется, и складывая полученные результаты. Сложение следует производить алгебраически, причем положительными следует счи- тать линии магнитной индукции, направление которых связано с положительным направлением тока в контуре электрической цепи правилом правого винта.

Ясно, что ЭДС, индуцируемая во всей цепи, определяется потокосцеплением . Действительно, при уменьшении потока до нуля каждая линия магнитной индукции столько раз пересечет контур тока, сколько раз она с ним сцепляется. Поэтому должно быть равенство

e dNdt ddt .

Потоки, сцепляющиеся с отдельными витками катушки, различны. Поэтому различны и ЭДС, индуцируемые в отдельных витках. В ряде случаев приближенно можно считать, что все линии магнитной индукции сцепляются со всеми w витками катушки. Тогда потокосцепление катушки связывается с потоком ! в одном витке простым соотношением w!. В таком случае ЭДС, индуцируемая в катушке,

e ddt w ddt! .

Таким упрощенным расчетом обычно можно пользоваться при вычислении ЭДС, индуцируемых в катушках с замкнутыми сердечниками из ферромагнитных материалов.

В простейшем случае для одного контура с электрическим током магнитный поток, сцепляющийся с этим контуром, определяется током i, протекающим

60 Часть 1. Основные понятия и законы теории

в этом же контуре. Такой поток называют п о т о к о м с а м о и н д у к ц и и. П о т о - к о с ц е п л е н и е с а м о и н д у к ц и и некоторого электрического контура или, что то же, некоторой неразветвленной электрической цепи, обозначают L. Можно представить его в виде

L Li.

Величину L называют с о б с т в е н н о й и н д у к т и в н о с т ь ю или просто и н д у к т и в н о с т ь ю контура. Индуктивность зависит от геометрических вели- чин g, определяющих размеры и форму контура, а также от абсолютной магнитной проницаемости среды, в которой существует магнитное поле: L F (g, ). Для однородной среды с const имеем L f(g).

как вследствие изменения тока, так и вследствие изменения индуктивности. Поэтому в общем случае ЭДС самоиндукции eL может быть представлена в виде

(M или 1) указывает, что поток определяется током, протекающим в другой, в данном случае в первой, цепи. Можно написать

2M M21i1.

Величину M21 называют в з а и м н о й и н д у к т и в н о с т ь ю контуров. Она зависит от геометрических величин g, определяющих размеры и формы конту-

ров и их взаимное расположение, а также от абсолютной магнитной проницаемости среды: M f(g, ). Åñëè const, òî M f(g).

Единицей индуктивности и взаимной индуктивности является генри (Гн). При изменении потока взаимной индукции, сцепляющегося со вторым кон-

туром, в этом контуре возникает э л е к т р о д в и ж у щ а я с и л а в з а и м н о й