Литература / 005_Neuman_TOE_v1_2003

При переменном поле ток смещения, принципиально говоря, существует не только в диэлектриках, но также и в полупроводящих и проводящих веществах. Действительно, под действием внешнего поля молекулы этих веществ должны поляризоваться так же, как и молекулы диэлектрика, и, кроме того, должно возникать смещение в пустоте. В полупроводящих веществах с токами смещения приходится считаться только при достаточно высоких частотах изменения электрического поля. В проводящих же веществах токи смещения ничтожно малы по сравнению с токами проводимости даже при весьма высоких частотах. С другой стороны, в изолирующем веществе наряду с токами смещения обычно существуют токи проводимости, хотя они весьма малы по сравнению с первыми уже при низких частотах.

В отношении первой составляющей J0 вектора плотности тока смещения, т. е. плотности тока смещения в пустоте, наглядная интерпретация при современном состоянии науки не может быть дана, так как мы еще не имеем сколь-нибудь детального представления о внутреннем строении электромагнитного поля, о тех внутренних процессах, которые в нем совершаются. Однако, даже не имея для первой составляющей J0 плотности тока смещения представления столь же наглядного, как для второй его составляющей J, можно высказать чрезвычайно важное предположение, а именно: следует ожидать, что важнейшее проявление электрического тока — появление связанного с ним магнитного поля — будет одинаковым для обеих составляющих. Опыт полностью подтверждает такое предположение.

Эти идеи впервые были высказаны Максвеллом и привели к созданию им теории электромагнитного поля. Действительно, согласно этим идеям, при всяком изменении электрического поля, даже в предположении отсутствия в нем частиц вещества (P 0), должно возникать в том же пространстве связанное с электрическим полем магнитное поле, т. е. образуется единое электромагнитное поле. Эти важные представления будут нами развиты подробнее в дальнейшем.

Âсвете сказанного ранее количественно полный электрический ток, или полный ток, есть скалярная величина, равная сумме тока проводимости и тока смещения сквозь рассматриваемую поверхность, т. е.

idqdt dtd s D0 d s.

Âэтом выражении в q входят и заряды свободных носителей, и суммарный связанный заряд, проходящий сквозь поверхность при поляризации вещества. Второй член в выражении для тока представляет собой ток смещения в пустоте,

42 Часть 1. Основные понятия и законы теории

являющийся скалярной величиной и равный производной по времени от потока электрического смещения сквозь рассматриваемую поверхность.

1.7. Принцип непрерывности электрического тока

Вообразим в диэлектрике замкнутую поверхность s (рис. 1.17) и представим, что заряжается тело A, расположенное внутри этой поверхности. При увеличении заряда q тела усиливается окружающее его электрическое поле и возрастает электрическое смещение в диэлектрике. Поэтому сквозь поверхность s изнутри наружу протекает ток смещения. Поток вектора смещения сквозь поверхность s равен свободному заряду q, заключенному внутри поверхности:

D d s q.

s

Возьмем производную от этого равенства по времени. Получим:

есть ток смещения сквозь поверхность s изнутри наружу.

Величина dq/dt есть скорость нарастания свободного заряда, заключенного внутри поверхности s. Увеличение свободного положительного заряда в объеме пространства, ограниченного поверхностью s, возможно только путем переноса положительных зарядов из внешнего пространства внутрь объема или отрицательных зарядов — в обратном направлении.

Этот перенос может быть осуществлен либо при токе проводимости iïð в проводниках, пересекающих поверхность s, либо при токе переноса iïåð, когда заряды переносятся сквозь поверхность на заряженных телах или движущимися в пространстве заряженными частицами. Если dq/dt > 0, то положительные

заряды переносятся из внешнего пространства внутрь объема, ограниченного поверхностью s, а следовательно, сумма токов (iïð + iïåð) будет отрицательна, так как положительной считаем внешнюю нормаль. Таким образом,

Следовательно, сумма токов всех родов — проводимости, переноса и смещения — сквозь любую замкнутую поверхность равна нулю.

Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля 43

Если обозначить через без индекса плотность полного тока J J ñì ) и через i — весь ток сквозь поверхность, то для любой замкнутой поверхности будем иметь

i d s 0,

s

что и является общим выражением принципа непрерывности электрического тока. Этот важный принцип гласит: полный электрический ток сквозь взятую в какой угодно среде замкнутую поверхность равен нулю. При этом выходящий из поверхности ток считается положительным, входящий — отрицательным.

Таким образом, линии тока нигде не имеют ни начала, ни конца, они принципиально являются замкнутыми линиями. Электрический ток протекает всегда по замкнутым путям.

Из всего сказанного ясно, что принцип непрерывности, или, что то же, принцип замкнутости тока, приобретает всеобщее значение только с введением понятия о токе смещения в диэлектрике и именно с учетом тока смещения в пустоте.

В качестве примера рассмотрим, как осуществляется замкнутость линий тока переноса, т. е. движущихся заряженных тел или частиц. Этот случай имеет глубокое принципиальное значение, так как всякий электрический ток, кроме тока смещения в пустоте, представляет собой движение большого числа отдельных заряженных элементарных частиц.

Рассмотрим уединенный точечный заряд q, движущийся в пустоте со скоростью v (рис. 1.18). В каждый момент времени вектор D в любой точке пространства направлен по радиальной прямой, исходящей из центра заряда,

èимеет величину, равную D 0 E q/(4 r 2) (предполагаем, что v значительно меньше скорости света и, следовательно, поле имеет такой же характер, как

èдля неподвижного заряда).

Ðèñ. 1.18

За промежуток времени t заряд проходит путь z v t. Соответственно новому положению заряда вектор смещения в каждой точке пространства получает новое значение D + D. Вектор плотности тока смещения Jñì dD/dt всюду имеет направление, к которому стремится вектор D ïðè t 0. На рис. 1.18 построены векторы плотности тока в некоторых точках пространства A1 – A5. Если бы мы произвели это построение в достаточно большом числе точек простран-

Следовательно,

AquÀÂ .

Âобщем случае рассматриваемый путь может проходить в любой среде, в ча-

стности он может быть взят целиком в проводнике, целиком в диэлектрике или может проходить частично в проводнике и частично в диэлектрике.

В соответствии с изложенным электрическое напряжение представляет собой физическую величину, характеризующую электрическое поле вдоль рассматриваемого пути и равную линейному интегралу напряженности электрического поля вдоль этого пути.

Нередко, говоря о напряжении вдоль некоторого участка пути, употребляют термин п а д е н и е н а п р я ж е н и я вдоль этого участка. Соответственно линейный интеграл напряженности электрического поля вдоль некоторого замкнутого контура E d l представляет собой сумму падений напряжений вдоль всех уча-

стков этого контура.

Единицей напряжения является вольт (Â).

Из сказанного вытекает, что значение напряженности электрического поля равно падению напряжения, отнесенного к единице длины линии напряженности поля. В самом деле, падение напряжения на пути dl равно du E dl, åñëè ïóòü dl совпадает с линией напряженности поля, и, следовательно, E du/dl. Поэтому единицей напряженности электрического поля является вольт на метр (1 В/м).

Как было отмечено в § 1.6, в проводящей среде напряженность электрического поля E связана с плотностью тока J соотношением E J, где — удельное сопротивление среды. В простейшем случае для прямолинейного отрезка проводника с постоянным током i, длиной l и сечением s падение напряжения в нем u El, à òîê i Js. Таким образом, u Jl li/s ri. Величина r u/i является электрическим сопротивлением рассматриваемого отрезка проводника. Электрическое сопротивление измеряется в îìàõ (Îì).

Соотношение u ri представляет собой закон Ома для этого участка проводника. Мощность, определяющая коли- чество энергии, выделяемой в проводнике в виде теплоты в единицу времени, имеет выражение p A/t uq/t ui ri2. Это соотношение выражает закон Джоуля–Ленца. Единицей мощности является âàòò (Âò).

Рассмотрим теперь величины, именуемые э л е к т р и ч е - с к и м п о т е н ц и а л о м и р а з н о с т ь ю э л е к т р и ч е - с к и х п о т е н ц и а л о в.

Пусть имеется э л е к т р о с т а т и ч е с к о е п о л е, т. е. поле покоящихся заряженных тел (рис. 1.21). В электростатическом поле линейный интеграл напряженности поля по любому замкнутому контуру равен нулю: E d l 0. Ýòî âàæ-

ное свойство электростатического поля вытекает из принципа сохранения энергии. Предположим, что по замкнутому пути AmBnA (рис. 1.21) перемещается

46 Часть 1. Основные понятия и законы теории

точечное тело с зарядом q. На части замкнутого пути движение будет происходить в направлении сил поля и работа, совершенная силами поля, будет положительной. На другой части замкнутого пути движение будет происходить против сил поля и, соответственно, работа сил поля будет отрицательной. Работа, совершенная силами поля на перемещение тела с зарядом q по всему замкнутому пути, должна быть равна нулю:

q E d l 0, ò. å. E d l 0.

Действительно, при отсутствии этого условия всегда можно было бы выбрать такое направление обхода контура AmBnA, чтобы работа оказалась положительной. Однако после обхода по замкнутому пути система, включая и тело с зарядом q, возвращается в точности в исходное состояние, а это значит, что можно было бы повторять обход контура телом с зарядом q любое число раз и получать при каждом обходе конечную положительную работу. Возможность существования подобного неисчерпаемого источника энергии противоречит принципу сохранения энергии. Таким образом, в электростатическом поле линейный интеграл напряженности поля по любому замкнутому контуру должен быть равен нулю. Отсюда непосредственно вытекает независимость линейного интеграла напряженности поля от выбора пути интегрирования при заданных начальной и конечной точках À è Â пути. Действительно,

E d l E d l E d l 0,

B

à òàê êàê ïóòè m è n взяты произвольно, то, следовательно, интеграл E d l

A

в электростатическом поле не зависит от выбора пути интегрирования и является только функцией координат точек A è B.

Величину, равную этому интегралу, называют разностью электрических по-

B

тенциалов точек А и В и обозначают UA – UB. Имеем UA – UB E d l.

A

С другой стороны, этот интеграл равен напряжению вдоль некоторого пути от точки A к точке B. Следовательно, в применении к электростатическому полю термины «напряжение» и «разность потенциалов» относятся к одной и той же величине.

В дальнейшем разность потенциалов будем обозначать буквой u, как и напряжение, в соответствии с чем будем применять обозначение UA — UB uAB.

Из сказанного выше ясно, что разность электрических потенциалов двух то- чек электростатического поля численно равна работе сил поля при перемещении точечного заряженного тела с положительным зарядом, равным единице, из одной данной точки в другую.

48 Часть 1. Основные понятия и законы теории

ности равного потенциала, т. е. является уравнением этой поверхности. Следы поверхности равного потенциала на плоскости чертежа называют л и н и я м и р а в н о г о п о т е н ц и а л а. Очевидно, линии равного потенциала пересекаются с линиями напряженности поля всюду под прямым углом.

Напряженность электрического поля внутри проводников при статическом состоянии зарядов должна быть равна нулю, так как при отсутствии тока (J 0) имеем E J 0. Поэтому в электростатическом состоянии каждое проводящее тело имеет во всем объеме одинаковый потенциал; поверхности этих тел суть поверхности равного потенциала, и линии напряженности поля в диэлектрике нормальны к ним.

Если диэлектрическая проницаемость изолирующей среды, окружающей заряженное проводящее тело, не зависит от напряженности электрического поля, то величина E всюду в диэлектрике, а следовательно, и потенциал U тела будут пропорциональны заряду q тела. Отношение q ê U называется э л е к т р и ч е - с к о й е м к о с т ь ю т е л а:

C Uq ,

причем равным нулю принимается потенциал в бесконечности. Электрическая емкость уединенного тела зависит от геометрических параметров g, определяющих форму и размеры тела, и от абсолютной диэлектрической проницаемости окружающего его диэлектрика: C F(g, ). Если диэлектрик однороден, то C f(g). При указанной оговорке, что не зависит от E, величина C не зависит от q è U.

Для двух проводящих тел, окруженных диэлектриком, при условии, что их заряды равны и противоположны по знаку, т. е. q1 –q2, разность потенциалов этих тел будет пропорциональна заряду одного из них. При этом величина

называется э л е к т р и ч е с к о й е м к о с т ь ю между этими телами. Она зависит от геометрических величин g, определяющих форму, размеры и взаимное расположение тел, а также от абсолютной диэлектрической проницаемости диэлектрика: C F(g, ). Для однородного диэлектрика C f (g).

Система из двух таких тел, специально созданная для использования ее электрической емкости, называется к о н д е н с а т о р о м.

В формуле для емкости между телами берется заряд того тела, от которого отсчитывается разность потенциалов. При этом всегда C > 0.

Единицей электрической емкости служит фарад (Ô).

Единицей абсолютной диэлектрической проницаемости, как было отмечено в § 1.4, является фарад на метр (Ф/м). Действительно, из выражения D/E следует, что единицей величины будет

Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля 49

Перейдем теперь к последнему из рассматриваемой группы понятий, а именно к понятию «электродвижущая сила».

Характерное свойство всякого потенциального электрического поля, и в ча- стности электростатического поля, а именно равенство нулю линейного интеграла напряженности поля вдоль любого замкнутого контура, относится лишь к области пространства, расположенной вне источников так называемых э л е к - т р о д в и ж у щ и х с и л (ЭДС).

Появление ЭДС связано с наличием электрических полей неэлектростатиче- ского и непотенциального характера.

В общем случае будем говорить, что в замкнутом контуре действует электродвижущая сила e, если линейный интеграл напряженности электрического поля вдоль замкнутого контура не равен нулю, причем, как будет сейчас показано, этот линейный интеграл равен ЭДС, действующей в контуре:

E d l e 0.

Источниками ЭДС могут являться, например, электрические генераторы, гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы.

Для уяснения сущности величины, к которой принято относить понятие «электродвижущая сила», рассмотрим в виде примера гальванический элемент (рис. 1.22). Тела A è B, подключенные к зажимам элемента, оказываются заряженными под действием ЭДС элемента. Интеграл вектора E по любому пути в диэлектрике между телами A è B равен разности потенциалов этих тел:

E d l U A U B uAB .

AmB

Однако если изберем путь интегрирования от тела A по соединительному проводнику к положительному электроду элемента, затем через электролит (путь n) к отрицательному электроду и, наконец, по соединительному проводнику к телу B, то должны признать, что вдоль этого пути интеграл равен нулю:E d l 0. Действительно, этот путь лежит целиком

AnB

в проводящей среде. В металле проводимость обеспе- чивается наличием электронов проводимости, в электролите — наличием положительных и отрицательных ионов. Так как J 0, òî íà âñåì ýòîì ïóòè E J 0.

В тонких слоях у поверхностей электродов отсутствие результирующего электрического поля (E 0) является следствием наложения внутри этих слоев

на электрическое поле с напряженностью Eñòàò, образованное зарядами электродов и электролита, равного и противоположного ему стороннего электрического поля с напряженностью Eñòîð, имеющего неэлектростатическое происхождение, что можно записать следующим образом:

E Eñòàò + Eñòîð 0 èëè Eñòàò –Eñòîð.