Литература / 005_Neuman_TOE_v1_2003

частота этой ЭДС, а следовательно, и токов в цепи достаточно низка, то можно приближенно пренебречь токами смещения между витками обмотки генератора

èпредставить эту обмотку в виде индуктивной катушки и резистора, являющегося активным сопротивлением обмотки генератора. Электродвижущую силу, индуцируемую в обмотке статора за счет вращения магнитного поля ротора, представим идеальным источником ЭДС. Таким образом, схема замещения гене-

ратора будет состоять из трех идеальных элементов: E1, L1 è r1 (ðèñ. 3.19, à). Эти три элемента должны быть соединены последовательно, так как и энергия магнитного поля Li2/2, и потери энергии i2r в проводниках обмотки, и напряжение ir определяются током в обмотке. Трансформаторы 2 è 5 могут быть представлены

в виде двух индуктивно-связанных катушек (L2I, L2II è M2 для трансформатора 2 и, соответственно, L5I, L5II è M5 для трансформатора 5), если пренебречь потерями энергии в ферромагнитных элементах конструкции трансформатора и нелинейными свойствами ферромагнитного материала (подробнее см. ч. III, § 3.9).

Резистор r2 является активным сопротивлением обмотки трансформатора 2. Линии передачи 3 è 4 для данной частоты даны в виде совокупности элементов r, L

èC, которые включены в схему замещения линии исходя из следующих соображений. Путь тока в линии и связанные с ним энергия магнитного поля и потери

энергии представлены в виде последовательно соединенных элементов L3, r3 è L4, r4. Наличие энергии электрического поля, которая определяется напряжением линии, учитывается двумя конденсаторами (C3 для линии 3 è C4 для линии 4), включенными в начале и в конце линии. Можно было включить и один конденсатор либо в начале, либо в конце линии. Естественно, что при этом должны быть скорректированы параметры L è r линии для того, чтобы оставить неизменными потери энергии в линии и разность напряжений в начале и в конце линии. Именно эти величины взяты в качестве определяющих, так как для характеристик линии экономически важны значение потерь в линии и падение напряжения на линии. Разумеется, такая простая схема замещения линии не учитывает распределенный характер параметров r, L è Ñ линии (подробнее этот вопрос будет рассмотрен в т. II, гл. 17 и 18).

Преобразование переменного тока в постоянный производится при помощи

использования особых свойств нелинейных элементов НЭ6 (в данном случае диодов), вольт-амперная характеристика которых приведена на рис. 3.19, á. Благодаря такой ВАХ происходит выпрямление переменного тока. Нагрузка

представлена резистором r7 и конденсатором Ñ7. Наличие конденсатора Ñ7 дает возможность улучшить форму кривой тока в резисторе, уменьшая ее пульсации.

Приведенная на рис. 3.19, à схема замещения электрической цепи, схема которой дана на рис. 3.18, является приближенной в пределах тех допущений, которые сделаны при представлении схем замещений отдельных устройств, входящих в состав цепи.

Для каждого элемента схемы рис. 3.19, à могут быть записаны в аналитиче- ском или графическом виде соотношения между токами, напряжениями, зарядами и потокосцеплениями. Составление математических соотношений, а следовательно, и схем замещений является специфической для инженера задачей, решение которой требует глубокого понимания особенностей электромагнитных

152 Часть 1. Основные понятия и законы теории

процессов, умения решать в общем случае задачи исследования распределения электромагнитного поля.

В дальнейшем, если не сделаны специальные оговорки, будем употреблять термин «электрическая цепь» применительно к цепи с идеализированными элементами, электрическая схема и схема замещения которой тождественны.

Электрическая цепь и, соответственно, ее схема имеют в общем случае в е т - в и и у з л ы.

Ветвью электрической цепи и, соответственно, ее схемы называют весь уча- сток электрической цепи, в котором в любой момент времени ток имеет одно и то же значение вдоль всего участка.

Ветвь может содержать любое число последовательно соединенных элементов цепи: участков с сопротивлением, конденсаторов, индуктивных катушек, источников ЭДС. При этом последовательным соединением участков электриче- ской цепи называют соединение, при котором через все участки цепи проходит один и тот же ток.

Примером схемы цепи с последовательным соединением участков является схема, изображенная на рис. 3.14.

Узлом электрической цепи и, соответственно, ее схемы называют место соединения ветвей. На схеме узел изображают точкой.

Параллельным соединением участков (ветвей) электрической цепи называют соединение, при котором все участки (ветви) цепи присоединяются к одной паре узлов и на всех этих участках (ветвях) имеется одно и то же напряжение. Примером схемы цепи с параллельным соединением участков является схема, изображенная на рис. 3.16.

Смешанным соединением участков электрической цепи называют сочетание последовательного и параллельного соединений.

Более сложные электрические цепи могут нe сводиться к последовательному

èпараллельному соединению участков (пример — схемы цепей на рис. 3.23, à

è3.22, à).

Электрическую цепь называют п л о с к о й (п л а н а р н о й), если она может быть изображена на плоскости в виде схемы с непересекающимися ветвями. Пример схемы плоской цепи дан на рис. 3.23, à; íà ðèñ. 3.22, à изображена неплоская (непланарная) цепь.

Контуром электрической цепи называют любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Пример — контур àbñà íà ðèñ. 3.22, à.

В заключение отметим, что любая часть электрической цепи, имеющая два зажима (полюса), называется двухполюсником. Двухполюсник условно на схеме изображают прямоугольником с двумя выводами (рис. 3.20). Рассмотрение целой части как одного двухполюсника полезно при выяснении общих свойств этих частей цепи. Различают активные (рис. 3.20, à) и пассивные (рис. 3.20, á) двухполюсники.

Активным называют двухполюсник, содержащий источники электрической энергии. Для линейного двухполюсника обязательным дополнительным условием является наличие на его разомкнутых зажимах напряжения, обусловленного источниками электрической энергии внутри двухполюсника, т. е. необхо-

димо, чтобы действия этих источников энергии не компенсировались взаимно внутри двухполюсника.

Пассивным называют двухполюсник, не содержащий источников электриче- ской энергии. Линейный двухполюсник может содержать источники электриче- ской энергии, взаимно компенсирующиеся таким образом, что напряжение на его разомкнутых зажимах равно нулю.

Оговорка о возможности наличия взаимно компенсирующихся источников, при которых двухполюсник остается пассивным, необходима, так как сама идея представления целой части цепи как двухполюсника заключается в рассмотрении общих свойств этой части цепи лишь со стороны ее входных зажимов. Эта оговорка относится исключительно к линейным цепям, потому что в нелинейных цепях такая компенсация может быть только для одного или только для нескольких определенных режимов и не будет иметь места для других режимов, так как параметры нелинейной цепи зависят от тока или напряжения.

В гл. 13, т. II введем аналогично понятие четырехполюсника как обобщенного элемента цепи.

3.10. Топологические понятия схемы электрической цепи. Граф схемы

В электрических схемах цепи или в схемах замещения узлы изображаются точ- ками. В сложных схемах, где возможны взаимные пересечения линий, изображающих соединительные провода, для обозначения существования их электри- ческих соединений также используются точки (например, точки à, b, ñ, d, å, f, g, à , b , ñ íà ðèñ. 3.19, à). Формально все эти точки также можно считать узлами схемы. Особенность таких мнимых узлов заключается в том, что они соединены участками цепи, где протекают токи и нет напряжений, так как сопротивление таких участков считаем равным нулю. По этой причине потенциалы таких узлов равны, и их можно изобразить одним узлом, несколько видоизменив схему. На рис. 3.19, à можно объединить узлы à, b, ñ â îäèí, b , à , ñ — в другой и d, å, f, g — в третий (рис. 3.21).

Чтобы сделать более наглядным изображение взаимных соединений ветвей схемы, целесообразно ввести в рассмотрение такое изображение схемы электри- ческой цепи, в котором ветви схемы представлены отрезками — ветвями графа, а узлы — точками — узлами графа. Такое топологическое представление схемы электрической цепи носит название г р а ф а э л е к т р и ч е с к о й с х е м ы или короче — г р а ф а с х е м ы.

Заметим, что на топологической схеме источники ЭДС и тока не изображаются. При этом ветвь с источником ЭДС сохраняется. Ветви же с идеальными источниками тока вообще не входят в топологическую схему, так как внутренняя проводимость таких источников равна нулю и, соответственно, сопротивление таких ветвей равно бесконечности.

Граф, между любой парой узлов которого имеется ветвь или совокупность ветвей, называют с в я з н ы м.

Если на графе имеется указание условно-положительных направлений токов или напряжений в виде отрезков со стрелками, то такой граф называют н а - п р а в л е н н ы м г р а ф о м с х е м ы.

154 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Ðèñ. 3.21

Направленный граф схемы (рис. 3.21, à) представлен на рис. 3.21, á. Можно заметить, что вследствие особенности учета ЭДС взаимной индукции граф схемы (рис. 3.21, à) распадается на три раздельные, т. е. несвязанные, части.

Условимся впредь на графе схемы узлы нумеровать числами в кружках, стоящих у соответствующих узлов, а ветви — числами без кружков. На графе схемы (рис. 3.21, á) имеем 7 узлов и 14 ветвей.

Важным топологическим понятием графа схемы является д е р е в о г р а ф а с х е м ы, представляющее собой любую совокупность ветвей графа, соединяющих все узлы графа без образования контуров. Один и тот же граф схемы может иметь различные деревья. Условимся ветви графа схемы, образующие дерево, изображать жирными линиями.

Ветви, дополняющие дерево графа до полного графа и, следовательно, не принадлежащие дереву графа, принято называть с в я з я м и г р а ф а с х е м ы. Условимся такие ветви изображать пунктирными, либо тонкими линиями. Очевидно, что каждому дереву графа схемы соответствует своя совокупность связей графа схемы, называемая ко-графом схемы, или дополняющим графом схемы. Например, для графа рис. 3.22, á в дополняющий граф войдут ветви (связи графа), соединяющие узлы ab, bf, fd, da, fa è bd. Íà ðèñ. 3.21, â выделено одно из множества возможных деревьев графа схемы.

На рис. 3.22 приведены электрическая схема (à) и граф этой схемы с двумя различными деревьями графа схемы (á è â).

Если связный граф имеет p ветвей и q узлов, то в его дереве будет q – 1 ветвей, а число связей окажется равным n p – (q – 1). Эти утверждения вытекают

Глава 3. Основные понятия и законы теории электрических цепей 157

Матрица узловых соединений имеет порядок (q – 1) ? ð, который определяется числом строк матрицы (q – 1) и числом столбцов матрицы (p). Условную запись (q – 1) ? ð не следует путать с умножением чисел. Например, порядок матрицы узловых соединений графа схемы (рис. 3.23) равен 3 ? 6, но не равен 3 618. Элементы матрицы обозначим буквой àjk. Согласно определению матри-

öû À, имеем àjk 1, èëè àjk –1, èëè àjk 0.

Если при построении таблицы соединений строкам поставить в соответствие ветви графа схемы, а столбцам — узлы, то соответствующая такой таблице матрица будет т р а н с п о н и р о в а н н о й м а т р и ц е й À. Обозначим такую транспонированную матрицу через Àt. Для графа схемы (рис. 3.23) имеем

3.12. Законы электрических цепей

При расчете электрических цепей используются два закона Кирхгофа. Рассмотрим их в применении к цепи с сосредоточенными параметрами.

Первый закон Кирхгофа, или закон Кирхгофа для узлов, применительно к узлам электрической цепи вытекает из принципа непрерывности электрического тока (см. § 1.7). Охватим узел цепи замкнутой поверхностью s (рис. 3.24). В соответствии с принятыми допущениями вся электрическая емкость в цепи с сосредоточенными параметрами предполагается сосредоточенной в конденсаторах, включенных в цепь. Это соответствует пренебрежению токами электрического смещения, отходящими от соединительных проводов к другим участкам цепи. Таким обра-

зом, сквозь замкнутую поверхность s проходят только токи проводимости в проводниках, пересекающих эту поверхность.

Согласно принципу непрерывности тока, в данном случае полу- Ðèñ. 3.24 ÷àåì

J ds i1 i2 i3 0.

s

При любом числе ï ветвей, присоединенных к узлу цепи, имеем

n

ik 0,

k1

ò.å. сумма токов, расходящихся от узла электрической цепи, равна нулю, что и является формулировкой первого закона Кирхгофа.

Итак, второй закон Кирхгофа гласит: сумма падений напряжения во всех ветвях любого замкнутого контура электрической цепи равна сумме ЭДС источников энергии, действующих в этом контуре.

Åñëè â k-й ветви содержатся в общем случае участок с активным сопротивлением rk, катушка с индуктивностью Lk и конденсатор с емкостью Ñk (ðèñ. 3.26, à), то падение напряжения вдоль всей этой ветви будет складываться из падений

напряжений urk, uLk è uCk на этих элементах, т. е. uk urk + uLk + uCk. Согласно полу- ченным в § 3.6 выражениям, для этих падений напряжений можем написать

Для составления уравнений согласно второму закону Кирхгофа должны быть заданы положительные направления токов ik è ÝÄÑ ek источников энергии во всех ветвях. Положительные направления падений напряжений uk считаем совпадающими с положительными направлениями токов ik. Выбрав затем некоторое направление обхода контура, мы должны при составлении суммы падений

вить перед буквенными обозначениями величин uk è ek знак «плюс», если положительное направление этих величин совпадает с направлением обхода контура, и знак «минус» — в противоположном случае.

В электрических цепях с сосредоточенными параметрами второй закон Кирхгофа может быть записан и для контура, который проходит от одного узла к другому по окружающему участки электрической

цепи пространству. Вследствие научных абстракций, принятых при построении теории электрических цепей с сосредоточенными параметрами, мы должны принять во внимание, что в этом окружающем пространстве отсутствуют магнитные

и сторонние поля и, следовательно, равны нулю ЭДС eñòîð è eèíä. При таком выборе контура обхода мы должны писать

E dl = umn 0,

ãäå umn — напряжение между узлами m è ï.

Заметим, что интеграл имеет смысл, если полагать, что и в цепях с сосредото- ченными параметрами во внешнем пространстве существует электрическое поле. Однако токи смещения и энергия такого поля предполагаются пренебрежимо малыми.

источник тока и источник ЭДС (ðèñ. 3.26, á). Согласно первому закону Кирхгофа применительно к узлу m (èëè n ) íà ðèñ. 3.26, á, имеем