Литература / 005_Neuman_TOE_v1_2003

При бесконечно малом перемещении средней части полюса поле остается однородным. Так как const, то неизменной остается и магнитная индукция B,

между вырезанной частью северного полюса и южным полюсом. Энергия,

причем абсолютная магнитная проницаемость воздуха принята равной 0. Знак «минус» указывает на то, что силы стремятся уменьшить расстояние между полюсами. Абсолютное значение силы, приходящейся на единицу поверхности полюса,

f fs BH2 ,

т. е. численно равно энергии магнитного поля в единице объема пространства между полюсами электромагнита.

В простейшем случае для одного контура с током энергия магнитного поля

Li2

Wì 2 .

Воспользуемся для вычисления электромагнитной силы выражением, полу- ченным в предположении, что ik const. Имеем

Если перемещение dg происходит под действием силы f, òî f dg > 0 и, стало быть, dL > 0. Следовательно, в контуре возникают такие силы, которые стремятся так деформировать контур, чтобы его индуктивность увеличилась.

Заметим здесь, что последнее выражение уже не требует никаких оговорок о постоянстве тока. Эта оговорка полностью использована при вынесении i2 за знак производной. Это выражение пригодно и для вычисления мгновенной электромагнитной силы при данном мгновенном переменном токе.

Выше указывалось, что обе формулы, полученные в предположении, чтоk const, и в предположении, что ik const, тождественны, т. е. можно написать

Продемонстрируем это на примере одного контура. Чтобы воспользоваться первой формулой для силы, следует выразить энергию через потокосцепление самоиндукции. Имеем

92 Часть 1. Основные понятия и законы теории

что полностью совпадает с результатом, полученным из выражения

Рассмотрим два контура с токами. Для энергии магнитного поля системы, состоящей из двух контуров с токами, имеем выражение

Найдем электромагнитную силу, стремящуюся изменить координату g, определяющую взаимное расположение контуров. От этой координаты зависит только взаимная индуктивность. Поэтому искомая электромагнитная сила

В этом выражении вынесены за знак производной оба тока. Вынося за знак производной только ток в одном из контуров, получим

Если контуры перемещаются под действием силы f, òî fdg > 0. В таком случае из первого равенства имеем i1d 1Ì > 0. Таким образом, при i1 > 0 è d 1Ì > 0, т. е. потокосцепление взаимной индукции 1Ì увеличивается. Иными словами, если потокосцепление самоиндукции L1i1 положительно, то потокосцепление взаимной индукции Ìi2 стремится принять наибольшее возможное положительное значение. При i1 < 0 имеем d 1Ì < 0, ò. å. 1Ì уменьшается. Следовательно, если потокосцепление самоиндукции L1i1 отрицательно, то и потокосцепление взаимной индукции 1Ì стремится стать отрицательным и притом наибольшим по абсолютному значению. Анализируя второе равенство, придем к аналогичным выводам по отношению к потокосцеплению взаимной индукции Ìi1 второго контура.

Èòàê, электромагнитные силы стремятся расположить жесткие контуры системы таким образом, чтобы линии магнитной индукции внешнего потока внутри контуров проходили в том же направлении, что и линии магнитной индукции потоков самоиндукции.

Определим еще вращающий момент f, который испытывает плоский контур с током i во внешнем однородном магнитном поле. Пусть B — магнитная индукция внешнего поля, s — поверхность, ограниченная контуром тока, и — угол, составляемый положительной нормалью N к этой поверхности с вектором B и отсчитываемый от направления вектора B (рис. 2.8). Положительное направление нормали свяжем с положительным направлением тока i правилом правого винта.

Согласно вышеприведенным выражениям

искомый вращающий момент можно представить как произведение тока i в контуре на производную ) от внешнего потокосцепления по углу . Имеем

Bs cos è f i )) isB sin mB sin ,

ãäå m is есть магнитный момент замкнутого тока.

В векторной форме последнее выражение имеет вид (рис. 2.8)

f = [ mB ].

Мы приходим к замечательному выводу, что вращающий момент не зависит отдельно от i è s, а определяется магнитным моментом m.

Сказанное полностью относится к любым элементарным токам, так как по определению элементарным называем замкнутый ток, протекающий по столь малому контуру, что в пределах этого контура внешнее поле можно считать однородным.

В заключение определим электромагнитную силу, действующую на прямолинейный отрезок проводника с током i, имеющий длину l, расположенный во внешнем одно-

родном поле нормально к вектору магнитной индукции B (рис. 2.9). Отрезок составляет часть замкнутого контура тока. На рис. 2.9 другая часть контура предполагается расположенной справа. При таком расположении направление линий индукции внешнего потока совпадает с направлением линий индукции потока самоиндукции кон-

òóðà (M > 0), поэтому сила должна быть направлена влево, так как при движении отрезка в этом направлении общий поток увеличивается из-за роста внешнего потока (потока взаимной индукции).

Если теперь считать, что другая часть контура находится слева отрезка, то в этом случае линии индукции потока взаимной индукции (внешнего потока) будут направлены против линий индукции потока самоиндукции контура (M < 0). Следовательно, сила должна быть направлена, как и прежде, влево, так как

94 Часть 1. Основные понятия и законы теории

при движении отрезка в таком направлении уменьшается направленный против потока самоиндукции поток взаимной индукции (внешний поток) и увеличивается суммарный поток.

Направление силы может быть определено и при помощи выражения f q[vB]. Направление v совпадает с направлением тока; поэтому, если, согласно правилу правого винта, вращать винт по направлению от вектора скорости к вектору индукции, получим направление силы f, показанное на рис. 2.9.

Предположим, что отрезок проводника переместится под действием электромагнитной силы на расстояние dx (см. рис. 2.9). Внешнее потокосцепление с контуром тока при этом получает приращение

d d! Bl dx.

искомая сила может быть представлена как произведение тока i в отрезке проводника на производную d /dx от внешнего потокосцепления по координате. Получаем

f i d i Bldx Bli. dx dx

Представляет интерес сравнение полученного выражения с выражением для ЭДС, индуцируемой в движущемся проводнике:

e Blv.

Механическая сила f, стремящаяся изменить геометрическую координату x проводника, определяется электрической скоростью, т. е. током в проводнике i dq/dt. ЭДС, стремящаяся вызвать ток в проводнике, определяется геометри- ческой скоростью проводника v dx/dt.

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

1.1. Связь заряда частиц и тел с их электрическим полем. Теорема Гаусса

ВОПРОСЫ

1.(О) Можно ли утверждать, что два одноименно заряженные и расположенные в пустоте тела отталкиваются? Необходимо ли для такого утверждения условие, чтобы тела были точечными?

2.Под действием силы со стороны электрического поля заряженная частица движется вдоль линии напряженности. Какой вид имеет линия напряженности?

3.В какой из точек (À èëè Â) напряженность E электрического поля больше (рис. В1.1)?

Ðèñ. Â1.1

4. (О) Обращается ли в нуль напряженность электрического поля в точках À, Â, C при указанной на рис. В1.2 линейной плотности , зарядов жилы 1 è ,2 оболоч- ки 2 кабеля?

Ðèñ. Â1.2

5.Можно ли рассчитать напряженность электрического поля с помощью теоремы Гаусса, если заряженные тела расположены не в пустоте, а в: à) однородном диэлектрике; á) кусочно-однородном диэлектрике?

6.Поток вектора напряженности электрического поля сквозь любую из замкнутых поверхностей в выбранной области равен нулю. Может ли в этой области существовать электрическое поле? Могут ли в ней находиться электрические заряды?

96 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

УПРАЖНЕНИЯ

1.(Р) Движущаяся со скоростью v ai + bj + ck заряженная частица испытывает со стороны магнитного поля силу f mi + nj + pk. Рассчитайте составляющие вектора магнитной индукции при: à) v 0i + 5j – 2k, f 1i; á) v 0i + 3j + 1k, f 2,5i; â) v 1,5i – 2j – 0,5k, f –4,5i – 2,25j – 4,5k. Заряд частицы q 10–10 Êë.

2.Весьма длинные параллельные тонкие заряженные провода расположены в воздухе. Определите направление и величину вектора напряженности электри- ческого поля в указанных на рис. В1.3 точках À, Â, Ñ при заданных положениях проводов и линейной плотности их зарядов.

Ðèñ. Â1.3

3. (Р) Постройте кривую изменения напряженности электрического поля вдоль прямой ab, соединяющей сечения двух очень длинных параллельных проводов

1 è 2 (рис. В1.4). Линейные плотности зарядов , > 0, Ðèñ. Â1.4

,2 –, .

4. (Р) Каким должен быть закон изменения в пространстве объемной плотности(r) электрического заряда, при котором поток вектора напряженности E электрического поля сквозь сферическую поверхность r const: à) не зависит от r; á) стремится к нулю с ростом r; â) пропорционален заданной функции f(r) ( const всюду)?

5.Найдите поток вектора напряженности электрического поля сквозь указанные на рис. В1.5 поверхности. Для вариантов à—ã + всюду.

6.(Р) Объясните, почему изображенные на рис. В1.6 линии не могут быть линиями напряженности электрического поля, если свободные заряды в части пространства, где изображены линии, отсутствуют.

7.Используя свойство симметрии поля, изобразите семейство линий напряженности электрического поля заряда, распределенного равномерно: à) на бесконеч- но протяженной плоскости; á) на поверхности бесконечно длинного проводящего цилиндра радиусом R; â) в объеме бесконечно длинного цилиндра радиусом R; ã) на поверхности проводящего шара; ä) в объеме сферы; å) на поверхности тонкого проводящего диска радиусом R; æ) вдоль тонкого кругового проводящего витка радиусом R; ç) в объеме бесконечно протяженной пластины толщиной h.

Ðèñ. Â1.5

Ðèñ. Â1.6

ЗАДАЧИ

1.(Р) Две равномерно заряженные безграничные пластины с поверхностной плотностью заряда +− и –− расположены параллельно друг другу на расстоянии d. Рассчитайте напряженность электрического поля в области между пластинами и вне их. Постройте кривую изменения напряженности поля вдоль прямой, нормальной к пластинам.

2.Линейная плотность электрического заряда очень длинного прямого тонкого провода равна ,. Найдите напряженность электрического поля в точках вне провода.

3.Определите напряженность электрического поля в точках между обкладками: à) плоского конденсатора. Расстояние между обкладками d, поверхностные плот-

ности их зарядов +− и –−; á) цилиндрического конденсатора. Радиусы обкладок R1 è R2 (R1 < R2), линейные плотности зарядов обкладок +, и –,; â) сферического конденсатора. Радиусы обкладок R1 è R2 (R1 < R2), их заряды +q è –q. Диэлектрическую проницаемость вещества, помещенного между обкладками, примите

98 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

равной 2 0. Расстояние между обкладками значительно меньше их линейных размеров.

4. Расположенный в пустоте весьма длинный прямолинейный заряженный провод радиусом сечения R0 1 см с линейной плотностью заряда , 2 10–7 Кл/м охвачен соосной с ним проводящей незаряженной трубой с толщиной стенки d 0,5 см и внутренним радиусом R 3 см. Рассчитайте и постройте зависимость напряженности электрического поля от расстояния r от оси провода. Укажите, в каких областях электрическое поле изменится, а в каких останется неизменным, если трубе сообщить заряд, линейная плотность которого , –2 10–7 Êë/ì.

5. (Р) Электрическое поле в воздухе создается зарядом весьма длинного прямолинейного провода радиусом R с линейной плотностью ,. Найдите радиус цилиндрической области, в которой воздух ионизирован, если напряженность электрического поля, при которой происходит ионизация воздуха, равна E 23,3 кВ/см. Численный расчет выполните при R 1,2 ñì, , 2 10–6 Êë/ì.

6. (Р) Круговой проводящий виток радиусом R равномерно заряжен с линейной плотностью заряда ,. Отсчитывая координату z вдоль оси от плоскости витка, найдите ее значение, при котором осевая составляющая напряженности поля будет наибольшей. Расчет выполните при R 0,2 ì, , 2 10–8 Êë/ì, +.

7. (Р) В шаре из диэлектрика, заряженном с объемной плотностью заряда , имеется сферическая незаряженная полость (вкрапление). Покажите, что электрическое поле внутри полости однородное. Найдите напряженность этого поля. Диэлектрическая проницаемость во всех точках пространства . Расстояние между центрами шара и вкрапления равно d.

8. (Р) Покажите, что в объеме, общем для двух разноименно заряженных шаров радиусами R с объемной плотностью и – , электри-

ческое поле однородное (рис. В1.7). При d 0,

и условии d сonst шары совмещаются, причем внутри них 0. Каково при этом распределение плотности получаемого на поверхности заряда, при котором поле внутри шаров однородное? Найдите соотношение между напряженностью поля и наибольшей плотностью электрического заряда на поверхности.

1.2. Электрическое смещение. Постулат Максвелла

ВОПРОСЫ

1. (О) Проводящее заряженное тело с зарядом +q расположено в области, где диэлектрические проницаемости сред 1 > 2, 2 < 3 (рис. В1.8). Какие знаки имеют связанные заряды на поверхностях s1, s2, s3? Изменятся ли связанные заряды, если заряд тела равен –q?

2.Для увеличения емкости конденсатора пространство между его обкладками

( 0) заполняют веществом с диэлектрической проницаемостью .0. Изменится ли напряженность электрического поля между обкладками, если их заряд сохраняется тем же?

3.(О) Линии напряженности однородного электрического поля направлены нормально к поверхности раздела двух сред, диэлектрические проницаемости кото-

рых различны ( / 2). Линии векторов D è E проведены так, что они образуют трубки с одинаковыми значениями потока D и потока E. В какой из сред плотность линий напряженности поля больше и почему?

4. (O) Электрический заряд расположен в полости незаряженного проводящего тела (рис. В1.9). Чему равен поток вектора электрического смещения сквозь замкнутую поверхность, охватывающую: à) заряд и проводящее тело (s1); á) заряд и частично проводящую среду (s2); â) только заряд (s3)? Объясните следующее противоречие. В случае á), когда поверхность охватывает заряд, проходя полностью в проводящей среде, в соответствии с постулатом Максвелла Dds q. Îä-

S

5.(O) Всегда ли на границе двух диэлектриков, находящихся в электрическом поле, появляется связанный электрический заряд?

6.(О) Укажите направление вектора напряженности электрического поля на поверхности заряженного проводника. При каком направлении главных осей анизотропии окружающего проводник диэлектрика вектор электрического смещения на его поверхности имеет то же направление, что и вектор напряженности электрического поля?

УПРАЖНЕНИЯ И ЗАДАЧИ

1.(Р) Оси прямоугольной системы координат совпадают с главными осями анизотропии кристаллического тела. Запишите составляющие тензора диэлектри- ческой проницаемости. Изменятся ли составляющие тензора при: à) параллельном переносе осей координат; á) повороте осей координат на некоторый угол.

2.(Р) В какой из областей, изображенных на рис. В1.10, плотность линий напряженности электрического поля больше, если они проведены так, что разбивают

все пространство на трубки равного потока E? Постройте кривые изменения величин D, E, P вдоль координаты изменения диэлектрической проницаемости.

3. Поверхности слоев плоского трехслойного конденсатора являются плоскими и параллельными его обкладкам. Постройте кривые изменения величин D, E, P между обкладками вдоль нормальной к ним линии. Диэлектрические проницаемости r слоев указаны в таблице на следующей странице.

100 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

Ðèñ. Â1.10

4. (Р) При неплотном прилегании слоя диэлектрика к поверхности внутренней обкладки однослойного цилиндрического конденсатора между ними образовался равномерный воздушный промежуток. Допуская, что заряды обкладок при этом не изменились, найдите, во сколько раз возрастет из-за этого напряженность электрического поля на поверхности внутренней обкладки; ее радиус R, диэлектрическая проницаемость вещества слоя r.

5. Погода вначале была сухая, потом пошел дождь, на проводах воздушной линии передачи появился слой воды, после чего похолодало и на них образовалась наледь. В какую погоду напряженность электрического поля на поверхности проводов наибольшая? Во сколько раз изменяется напряженность поля на поверхности проводов при изменении погоды при условии, что заряды проводов неизменны.

Примечание. Относительная диэлектрическая проницаемость воды r 88, ëüäàr 3,1.

6. (Р) Линии вектора поляризованности нормальны к поверхности раздела двух сред с различными диэлектрическими проницаемостями. Получите выражение, связывающее вектор поляризованности P с поверхностной плотностью связанного электрического заряда.

1.3. Виды электрического тока и принцип непрерывности электрического тока

ВОПРОСЫ

1. (О) К какому виду электрического тока следует отнести явление: à) движения заряженных частиц в неидеальном диэлектрике под действием неизменяющегося во времени электрического поля; á) движения электронов в пространстве между электродами электронной лампы; â) движения электронов в изолирован-