Литература / 005_Neuman_TOE_v1_2003

102 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

5. (Р) Вектор плотности тока электрического смещения Jñì i Jñìx изменяется по указанному на рис. В1.12 закону. Изобразите зависимости D(t).

Ðèñ. Â1.12

ЗАДАЧИ

1. (Р) Изоляция цилиндрического коаксиального кабеля имеет удельную электрическую проводимость 10–7 См/м. Радиус жилы кабеля R1 4 мм, внутренний радиус оболочки R2 8 мм. Рассчитайте проводимость изоляции и ток проводимости между жилой и оболочкой, плотность тока проводимости на поверхностях жилы и оболочки, мощность потерь в изоляцèи кабеля длиной 100 м при напряжении между жилой и оболочкой u(t) 2202 sin100 t (В). Рассчи- тайте также ток смещения и плотность тока смещения на поверхностях жилы и оболочки. Относительная диэлектрическая проницаемость изоляции r = 5.

2. (Р) Сферический заземлитель, представляющий собой проводящую сферу радиусом R 0,5 м, погружен в землю на глубину h // R. Принимая удельную электрическую проводимость почвы 10–2 См/м, ее относительную диэлектрическую проницаемость r 2, рассчитайте плотность токов проводимосòи и смещения, а также мощность потерь при вводимом в заземлитель токе i 1002 sin100 t (À).

Примечание. Учитывая соотношение h >> R, окружающую заземлитель почву примите безграничной.

3. (Р) Относительная диэлектрическая проницаемость среды между обкладками конденсатора и ее удельная электрическая проводимость равны, соответственно,r 8 è 10–6 См/м. При какой частоте изменения приложенного к конденсатору напряжения амплитуды токов проводимости и смещения равны?

4. (Р) Между обкладками плоского конденсатора параллельно им вставлена тонкая проводящая пластина, удельная электрическая проводимость которой3,5 107 См/м. Ток конденсатора i 10–3 sin 105t (А), площадь каждой из обкладок S 10 ñì2 равна площади пластины. Рассчитайте плотность тока проводимости в пластине и напряженность электрического поля в ней. Правомерно ли при заданных значениях допустить, что напряженность электрического поля в пластине значительно меньше напряженности поля в диэлектрике, и определить плотность поверхностного электрического заряда пластины как − D E? Диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками 80 0. Краевым эффектом можно пренебречь.

1.4. Электрическое напряжение и потенциал

ВОПРОСЫ

1.(О) При перемещении заряженного тела вдоль некоторого пути работа не совершается. Каково направление вектора E по отношению к траектории перемещения в точках пути?

2.Силы поля совершают работу по перемещению тела с зарядом q < 0. В каком направлении перемещается тело, если электрическое поле однородное и направление вектора E задано?

3.Под действием силы поля тело с зарядом q > 0 переместилось из точки À в точку Â. Каков знак напряжения uÀÂ?

4.По проводу (рис. В1.13) течет постоянный ток i.

9.Изменится ли напряженность электрического поля, если изменить потенциал во всех точках существования поля: à) на одно и то же число; á) â k ðàç?

10.Существует ли электрическое поле в полости (рис. В1.14) заряженного проводящего тела? Чему равна разность потенциалов между точками À, Â?

11.(О) Имеет ли смысл понятие емкости: à) бесконечно длинного прямого провода; á) точечного тела; â) тела из вещества с диэлектрической проницаемостью ; ã) проводящего тела с полостью, заполненной диэлектриком; ä) проводящего листа конечных размеров?

106 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

8. (Р) Радиусы обкладок n-слойного цилиндрического конденсатора Ri è Re, внешние радиусы слоев диэлектрика R1, R2, . . ., Rn Re. Получите соотношения, связывающие величины 1, 2, . . ., n è R1, R2, . . ., Rn–1, при выполнении которых наибольшие напряженности поля во всех слоях равны.

1.5. Магнитная индукция. Принцип непрерывности магнитного потока

3.Как должен быть направлен вектор магнитной индукции однородного магнитного поля в точках поверхности, чтобы магнитный поток сквозь нее был наибольшим?

4.Виток из гибкой нити лежит в плоскости, нормальной к линиям магнитной

индукции. Сцепленный с ним поток равен !0. Как следует изменить форму витка, чтобы он, оставаясь в той же плоскости, охватил: à) наибольший поток; á) наименьший поток?

5.(О) В магнитном поле контура с током выбрана безграничная плоская поверхность, сквозь которую рассчитан магнитный поток. Чему равно его значение?

6.Поверхность опирается на контур с током. Зависит ли значение магнитного потока сквозь эту поверхность от формы поверхности?

7.(О) Постоянный магнит представляет собой стержень круглого сечения длиной l. Можно ли определить магнитный поток, проходящий внутри магнита че- рез его сечение, измеряя магнитный поток в окружающем пространстве?

8.Изменится ли значение магнитного потока ! Bds, если во всех точках по-

s

верхности s принятое направление нормали n изменить на противоположное?

9.В части пространства магнитный поток сквозь любую выбранную в ней замкнутую поверхность равен нулю. Означает ли это, что магнитная индукция во всех точках равна нулю?

10.(О) Соленоид помещен в неоднородное магнитное поле. Чему равен магнитный поток ! сквозь боковую поверхность соленоида, если опытным путем было

найдено, что в одну из его торцевых поверхностей входит магнитный поток !1, а из второй торцевой поверхности выходит магнитный поток !2?

УПРАЖНЕНИЯ

1.Одна из линий магнитной индукции — прямая. При движении вдоль нее магнитная индукция вначале возрастает, а затем уменьшается. Проведите соседние линии магнитной индукции.

2.(Р) Электрический ток течет по плоскому круговому тонкому витку. Найдите соотношение между магнитным потоком сквозь часть плоскости, ограниченную витком, и сквозь оставшуюся часть плоскости.

3.(Р) Магнитное поле создано токами +i, –i двух бесконечно длинных параллельных проводов, пересекающих нормальную к их осям плоскость в точках À è Â. Найдите соотношение между магнитными потоками сквозь поверхности, следами которых являются отрезок ÀÂ è ëó÷ ÂÑ. Ïðè ýòîì ëó÷ ÂÑ уходит в бесконечность, являясь продолжением отрезка ÀÂ.

4.Найдите значение магнитного потока, сцепленного с контуром (рис. В1.20), помещенным в однородное магнитное поле с индукцией B, нормальной к круговым участкам контуров радиусом R.

Ðèñ. Â1.20

5. (Р) В однородном магнитном поле с индукцией B = 0,2i + 0,5j + 1k Тл выделена плоская поверхность площадью S 1 ì2, направление нормали в каждой точке которой есть n 1i + 1j + 1k. Рассчитайте магнитный поток сквозь поверхность.

1.6. Закон электромагнитной индукции

ВОПРОСЫ

1.В магнитном поле движется тело из диэлектрика. Поляризуется ли оно?

2.(О) Проводящее тело движется с постоянной скоростью в однородном магнитном поле в направлении, нормальном к линиям магнитной индукции. Индуцируется ли в нем ЭДС? Течет ли в нем ток проводимости?

3.(О) Проводящее тело движется в магнитном поле. При выполнении каких условий в теле будет протекать электрический ток?

4.(О) Изменится ли амплитуда синусоидального магнитного потока, сцепленного с находящимся во внешнем магнитном поле короткозамкнутым витком,

проводимость вещества которого , если его заменить витком той же формы, но имеющим проводимость 1 > ?

5. (О) Укажите направление ЭДС, индуцируемой во вращающемся с постоянной скоростью проводящем диске, ось вращения которого параллельна линиям магнитной индукции. Протекает ли в диске ток?

108 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

6.Проводящий цилиндр конечной длины вращается с постоянной скоростью в однородном магнитном поле, вектор магнитной индукции B которого перпендикулярен оси вращения цилиндра. Укажите направления индуцируемых в цилиндре ЭДС.

7.(О) Внешний магнитный поток, сцепленный с замкнутым проводящим витком, изменяется по закону !â(t). При каком допущении ток в витке можно рас-

считать по формуле i(t) 1 d!â , ãäå r — сопротивление провода витка?

rdt

8.(О) Справедливо ли утверждение, что индуцируемая ЭДС всегда стремится создать такой ток, магнитное поле которого направлено в сторону, противоположную направлению магнитного потока, вызвавшего ЭДС?

9.Плоский проводящий виток расположен в однородном магнитном поле, нормальном плоскости витка. Индуцируется ли в витке ЭДС, если он: à) перемещается в своей плоскости, не изменяя формы; á) меняет свою форму от круглой до предельно вытянутой; â) перемещается в пространстве в произвольном направлении, не изменяя своей формы; ã) вращается вокруг своей оси?

10.Постоянный магнит движется с постоянной скоростью вдоль оси витка, вна- чале приближаясь к нему, а после пересечения его плоскости — удаляясь от него. Меняет ли знак индуцируемая в витке ЭДС? Изобразите кривую изменения индуцируемой в витке ЭДС.

11.(О) Проводящий виток перемещается в однородном магнитном поле в плоскости, нормальной линиям магнитной индукции, так что сцепленный с ним поток не изменяется. В соответствии с формулировкой закона электромагнитной индукции Максвелла ЭДС в витке равна нулю, тогда как в проводе витка в связи с пересечением им силовых линий, согласно формулировке Фарадея, ЭДС не равна нулю. Имеется ли противоречие в этом рассуждении?

УПРАЖНЕНИЯ

1.Постройте кривую изменения ЭДС, индуцируемой в контуре, если сцепленный с ним магнитный поток изменяется во времени по указанному на рис. В1.21 закону.

2.Постройте кривую изменения магнитного потока, охватываемого контуром, если индуцированная этим потоком ЭДС изменяется по указанному на рис. В1.22 закону.

3.(Р) Проводящая пластина, высота которой значительно больше ее толщины h, а длина значительно больше высоты, движется в среде с диэлектрической про-

ницаемостью 0 со скоростью v (рис. В1.23) в магнитном поле, линии индукции которого перпендикулярны вектору v. Найдите плотность электрических зарядов, возникающих на противоположных сторонах 1, 2 пластины.

4. (Р) Найдите ЭДС, индуцируемую между точками вращающегося со скоростью 0(t) проводящем диске радиусом R, ось вращения z которого параллельна линии магнитной индукции B однородного магнитного поля.

Примечание. Такое устройство является моделью униполярного генератора.

Ðèñ. Â1.21

Ðèñ. Â1.22

5. (Р) Рассчитайте мощность в нагрузке униполярного генератора, к диску которого через прижимные щетки, расположенные при R1 0,6 ì è R2 0,1 м, подключен резистор R 10 Ом. Скорость вращения диска n 120 об/мин, магнитная индукция, направленная вдоль оси вращения, B 0,5 Тл, электрическое сопротивление проводящего диска между щетками R0 1 Îì.

ЗАДАЧИ

1. (P) Два весьма длинных провода круглого сечения с токами i1 Im sin 0t è i2 –Im sin 0t образуют двух-

проводную линию. Как следует расположить в пространстве и к каким точкам подсоединить контур, состоящий из двух проводов и вольтметра, для измерения падения напряжения на длине l линии?

110 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

2.В коаксиальном кабеле внутренняя жила является цилиндром круглого сече- ния, а внешняя трубчатая оболочка с обратным током — трубой со стенкой некоторой толщины. Изобразите на рисунке измерительный контур для измерения падения напряжения на длине l кабеля. Как следует расположить измерительный контур при измерении падения напряжения на длине l трубы?

3.(Р) В воздушном зазоре между ротором и гладким (беззубцовым) статором электрической машины нормальная к поверхности статора составляющая маг-

нитной индукции изменяется по его окружности по закону B Bm sin 23 ãäå 2 — угловая координата точки поверхности статора. Этот закон обеспечивается соответствующим распределением тока ротора. При вращении ротора с угловой скоростью 0 магнитное поле вращается вместе с ним. Радиус окружности статора R.

А. Рассчитайте ЭДС, индуцируемую: à) в прямом проводе длиной l, лежащем на поверхности статора; á) в контуре, образованном при последовательном соединении двух прямых проводов длиной l каждый, лежащих на поверхности статора на расстоянии R друг от друга, отсчитываемом по поверхности. ЭДС найдите, основываясь на двух формулировках закона электромагнитной индукции — Максвелла и Фарадея.

Б. При каком значении ЭДС в контуре имеет: à) наибольшую; á) наименьшую амплитуду?

В. Изменится ли ЭДС в проводе и в контуре, если их поместить не на поверхности, а в пазах статора, выполненного из ферромагнитного вещества?

1.7. Индуктивность и взаимная индуктивность

ВОПРОСЫ

1.Может ли индуктивность быть отрицательной?

2.(О) Равна ли индуктивность двух последовательно соединенных катушек сумме их индуктивностей?

3.(О) Зависит ли индуктивность расположенной в пустоте катушки от протекающего по ней тока?

4.(О) Как изменится (увеличится или уменьшится) индуктивность катушки, охватывающей ферромагнитный сердечник, при изменении его состояния от ненасыщенного (при малых токах катушки) до насыщенного (при больших токах катушки)?

5.(О) Катушка образована проводом, намотанным по винтовой линии на цилиндрическую поверхность. Изменится ли индуктивность катушки при уменьшении шага намотки (шага спирали) и сохранении длины провода?

6.Провод, образующий катушку с несколькими витками, растягивается и переходит в прямолинейный. Увеличилась или уменьшилась при этом индуктивность?

7.(О) Изменится ли индуктивность катушки, если в нее вставить сердечник из проводящего немагнитного вещества? Одинаков ли ответ при: à) постоянном; á) переменном токе катушки?