pG
r |
l |
|
|
|
|
|
L |
|
Рис. 1. Направление вектора импульса частицы, движущейся по прямолинейной траектории |
|
|
Согласно формуле (10) модуль момента импульса частицы равен: |
|
|
|
L = pl = mVl , |
(11) |
из формулы (11) следует, что модуль момента импульса может изменяться только за счет изменения модуля скорости, т.к. при движении по прямолинейной траектории плечо l остается постоянным.
Если же частица массой m движется по окружности радиуса R со скоростью vG, то модуль момента импульса частицы будет найден согласно формуле (11):
L = mvR . |
(12) |
Сделаем рисунок 2.
r p =m v
O
L
Рис. 2. Направление вектора импульса частицы, движущейся по окружности радиуса R со скоростью v
Теперь мы рассмотрели момент импульса относительно точки O. Из формулы (12.) следует,
что модуль момента импульса может меняться только за счет изменения модуля скорости. Не- |
|||||
смотря на непрерывное изменение направления вектора |
p , направление вектора LG остается |
||||
постоянным. |
|
|
|
|
|
1.9. Проекция вектора LG на произвольную ось z. |
|
||||
Проекция вектора LG на произвольную ось z, проходящую через точку О, называется момен- |
|||||
том импульса частицы относительно этой оси: |
|
G |
|
||
Lz = |
|
r , p |
|
пр.z . |
(13) |
|
|
||||
4.2.Основной закон динамики вращательного движения
Ввекторной форме записи основной закон динамики вращательного движения можно записать так:
скорость изменения момента импульса со временем равна суммарному моменту сил, действующих на частицу:
K |
dL |
(14) |
|
M = |
dt . |
||
|
Если спроектируем выражение (14) на ось z, то получим соотношение (15):
dLz |
= M z , |
(15) |
|
||
dt |
|
|
6
производная по времени от момента импульса относительно оси z равна моменту действующих на частицу сил, относительно той же оси.
Если момент инерции частицы Iz является величиной постоянной, то закон сохранения момента импульса в проекции на ось z можно записать ещё и в таком виде:
M z = Iz εz ,. |
(16) |
где Iz - момент инерции частицы;
εz - угловое ускорение частицы относительно оси z.
4.2.1. Закон сохранения момента импульса
Для замкнутой системы частиц (на систему не действуют внешние силы) выполняется закон сохранения момента импульса, который звучит так:
Момент импульса замкнутой системы частиц остаётся постоянным:
L =const.
Момент импульса сохраняется и для незамкнутой системы частиц, если сумма моментов внешних сил, относительно этой оси, равна нулю.
В основе закона сохранения момента импульса лежит изотропия пространства, т.е. одинаковость свойств пространства по всем направлениям. Поворот замкнутой системы частиц без изменения их взаимного расположения (конфигурации) и относительных скоростей не изменяет механических свойств системы. Движение частиц относительно друг друга после поворота будет таким же, каким оно было бы, если бы поворот системы не был бы осуществлён.
4.2.3.Вывод расчётной формулы
На рисунке изображены силы, приложенные к шкиву и грузу, прикрепленному к нити. Интересующее нас значение момента инерции маятника Обербека найдем из основного закона динамики вращательного движения:
I |
z |
= |
M z |
, |
|
||||
|
|
ε |
||
|
|
|
z |
|
где Iz - момент инерции креста;
εz - проекция углового ускорения креста на ось z, Мя – вращающий момент касательной силы.
R′
Fτ
M тр
R
zG
m2 gG
Рис. 3
(17)
T
m 
mg
x
7
Груз массой m движется поступательно. |
|
Запишем второй закон Ньютона для движения груза, массой m: |
|
maGτ =T +mgG, |
(18) |
где TG- сила натяжения нити, приложенная к грузу; |
|
m - масса грузовой площадки и грузов на ней. |
|
Запишем уравнение (18) в проекции на направление движения груза (на ось X): |
|
max = mgx −Tx . |
(19) |
Так как ось X мы направили вертикально вниз, то проекция вектора gG |
на ось X равна |
gx = g, а проекция вектора TG на ось X равна Tx = −T . |
|
По третьему закону Ньютона: |
|
Tx = Fτ . |
(20) |
Поэтому уравнение (19) принимает вид: |
|
max = mg −Fτ . |
(21) |
Найдем выражение для касательной силы: |
|
Fτ = m(g −ax ) . |
(22) |
Вращающий момент касательной силы равен: |
|
M = FτR = m(g −aτ )R |
(23) |
Если нить не скользит по шкиву, то проекция ускорения опускающегося груза на ось X равна проекции ускорения точки, лежащей на ободе шкива, на касательное к ободу шкива направление:
ax = aτ . |
(24) |
Модули линейного тангенциального ускорения и углового ускорений связаны соотношени-
ем:
aτ =εz R . |
(25) |
А величину линейного тангенциального (касательного) ускорения найдем измерив высоту – h и время - t опускания груза.
a = |
2h |
. |
(26) |
τ |
t2 |
|
Величину углового ускорения найдем, подставив выражение (26) в (25):
ε = |
2h |
. |
(27) |
|
|||
|
t2 R |
|
|
Подставим в выражение (17) соотношения (23), (26), (27), получим:
I = |
mR2 |
(gt |
2 |
−2h). |
(28) |
2h |
|
||||
|
|
|
|
|
Если вместо радиуса шкива будем использовать диаметр шкива, то формула примет вид:
I = |
md 2 |
(gt |
2 |
−2h). |
(29) |
8h |
|
||||
|
|
|
|
|
8