Ψ2′(x) = A2 (ik2 )eik2 x ,
Ψ1(0) =1+ B1 , Ψ2 (0) = A2 .
Ψ1′(0) = ik1 −ik1B1 , Ψ2′(0) = A2ik2
1 + B1 = A2, k1 - B1 k1 = A2 k2 B1 = A2 – 1, k1 – (A2 – 1) k1 = A2 k2
2 k1 = (k1 + k2 )A2 , A2 = 2 k1 / k1 + k2
|
|
|
= 2 k1 |
|
|
2 |
E |
2 |
E +i |
2 |
|
|
Ψ |
(0) |
2 = A 2 |
+ k |
2 |
= 2 |
+ E −U = 2 |
U − E |
= |
|
|||
2 |
|
2 |
k1 |
|
|
E |
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= ( |
|
|
4E |
|
|
|
|
4E |
|
|
|
4E |
E +i U − E )( E −i U − E )= |
E +i U − E −i U − E +U − E |
= |
U |
|||||||||
Ответ: Ψ2 (0) 2 = 4UE .
Пример №7. Волновая функция, описывающая состояние частицы в одномерной "потенциальной яме" с бесконечно высокими "стенками", имеет вид Ψ(x) = A sin kx. Определите: 1) вид собственной волновой функции Ψn(x); 2) коэффициент А, исходя из условия нормировки вероятностей.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
Ψ(x) = A sin kx |
|
Ψ(0) = Ψ(l) = 0, Ψ(l) = A sin kl = 0. |
|
|
|
|
kl = n π, k = n π / l, Ψn(x) = A sin n π / l x. |
|
|
1) Ψn(x) = ? |
|
|
||
2) A = ? |
|
|
|
|
|
|
∫l |
| Ψn(x) |2 dx = 1, |
|
|
|
0 |
|
|
|
∫l |
A2sin 2 n π / l * x dx = 1 / 2 A2 l = 1, |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
. |
|
Ответ: 1) Ψn(x) = A sin n π / l * x; 2) A = |
2 . |
|
||
|
|
|
l |
|
Занятие №36. Физика атомного ядра |
|
|||
Основные формулы |
|
|
|
|
Момент импульса электрона на стационарных орбитах: |
|
|||
|
|
L = mvr = n=, (n = 1, 2, 3...). |
(1) |
|
Энергия фотона, излучаемого атомом водорода при переходе из одного стационарного состояния в другое:
ε21 = Еn2 –En1. |
(2) |
21
Формула Ридберга:
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||
|
|
, |
|||||
λ |
|
|
|
||||
= n2 |
− n2 |
||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
||
где =1.10 10−7 м–1 – постоянная Ридберга.
Радиус ядра:
R = R0 A 1/3,
где R0 = 1,4 10 –15 м;
A - массовое число (число нуклонов в ядре). Энергия связи нуклонов в ядре:
Eсв = [Zmp + (A - Z)mn - mя]c2 = [ZmH + (A - Z)mn - m]c2,
где mp, mn, mя – соответственно массы протона, нейтрона и ядра; Z - зарядовое число ядра (число протонов в ядре);
A - массовое число;
mH = mp + me - масса атома водорода (H 11); m - масса атома.
Дефект массы ядра:
∆m = [Zmp + (A - Z)mn ]- mя = [ZmH + (A - Z)mn ]- m.
Удельная энергия связи (энергия связи, отнесенная к одному нуклону):
δEсв = Eсв / A.
Число ядер, распавшихся в среднем за промежуток времени от t до t + dt: dN = – λ N dt,
где N – число нераспавшихся ядер к моменту времени t; λ - постоянная радиоактивного распада.
Закон радиоактивного распада:
N = N0 e –λ t,
где N – число нераспавшихся ядер в момент времени t;
N0 - начальное число нераспавшихся ядер (в момент времени t = 0); λ - постоянная радиоактивного распада.
Число ядер, распавшихся за время t:
∆N = N0 – N = N0(1 - e –λ t).
Связь периода полураспада T1/2 и постоянной радиоактивного распада λ:
T1 / 2 = lnλ2 .
Активность нуклида:
A = dNdt = λN .
Энергия ядерной реакции:
Q = c2 [(m1 + m2) – (m3 + m4)],
где m1 и m2 – массы покоя ядра-мишени и бомбардирующей частицы; (m3 + m4) - суммы масс покоя ядер продуктов реакции.
При Q > 0 – экзотермическая реакция, при Q < 0 – эндотермическая реакция. Энергия ядерной реакции может быть представлена также в виде:
Q = (T1 + T2) – (T3 + T4),
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
22
где T1,T2 ,T3 ,T4 – кинетические энергии соответственно ядра-мишени, бомбардирующей частицы, испускаемой частицы и ядра продукта реакции.
Скорость нарастания цепной реакции: |
|
|
|
|
|
|
dN |
= |
N (k −1) |
. |
(15) |
|
dt |
|
|||
|
|
T |
|
||
Примеры решения задач
Пример №1. Вычислить радиус первой орбиты атома водорода (боровский радиус) и скорость электрона на этой орбите.
Дано: n = 1
r = ? v = ?
Решение:
Согласно теории Бора, радиус r электронной орбиты и скорость v электрона на ней связаны равенством:
m v r = n ħ.
Так как требуется определить величины, относящиеся к первой орбите, то главное квантовое число n = 1 и равенство примет вид:
m v r = ħ.
Для определения неизвестных величин r и v необходимо еще одно уравнение. Воспользуемся уравнением движения электрона. Согласно теории Бора, электрон вращается вокруг ядра. При этом сила взаимодействия между электрическими зарядами ядра и электрона сообщает электрону центростремительное ускорение. На основании второго закона Ньютона запишем
m v2 / r = 1 / 4 π ε0 e2/ r2,
(e и m - заряд и масса электрона).
m v2 = 1 / 4 π ε0 e2/ r.
Совместное решение равенств относительно дает:
r = 4 π ε0 ħ2 / me2.
Подставив сюда значения ħ, e, m и произведя вычисления, найдем боровский радиус: r1 = 5,29 10 – 11 м.
Получим выражение скорости электрона на первой орбите: v = ħ / m r.
Расчет:
v = 2, 18 * 10 6 м/c.
Ответ: r1 = 5,29 * 10 – 11 м, v = 2, 18 * 10 6 м/c.
Пример №2. Определить энергию ε фотона, соответствующего второй линии в первой инфракрасной серии (серии Пашена) атома водорода.
Дано:
Для серии Пашена: n1 = 3 для второй линии этой серии m = 2
ε = ?
Решение:
Энергия ε фотона, излучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую:
ε = Ei (1 / n12 - 1 / n22 ).
где Ei – энергия ионизации атома водорода;
n1 = 1, 2, 3,…- номер орбиты, на которую переходит электрон;
n2 = n1 + 1; n1 + 2; …; n1 + m – номер орбиты, с которой переходит электрон;
23
m - номер спектральной линии в данной серии. Для серии Пашена n1 = 3; для второй линии этой серии m = 2,
n2 = n1 + m = 3 + 2 = 5.
Расчет: ε = 0,97 эВ
Ответ: ε = 0,97 эВ
Пример №3. Найти наименьшую и наибольшую длины волн спектральных линий водорода в видимой области спектра.
Дано: |
Решение: |
k = 2 |
Длины волн спектральных линий водорода всех серий определяются |
||||||
n = 3, 4, 5, … |
формулой: |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
||
λmin = ? |
|
||||||
|
|
|
= R |
|
− |
|
. |
λmax = ? |
|
|
|
n2 |
|||
|
λ |
k2 |
|
|
|||
При k = 1, n = 2, 3, 4,… – серия Лаймана в ультрафиолетовой области, при k = 2, n = 3, 4, 5,… – серия Бальмера в видимой области,
при k = 3, n = 4, 5, 6,… – серия Пашена в инфракрасной области, при k = 4, n = 5, 6, 7,… – серия Брекета в инфракрасной области, при k = 5, n = 6, 7, 8,… – серия Пфунда в инфракрасной области.
Таким образом, серия в видимой области спектра соответствует значению k = 2 и n = 3, 4, 5,… Очевидно, наименьшая длина волны спектральных линий этой серии будет при n = ∞.
Тогда:
1 / λmin = R / 4,
или
λmin = 4 / R = 3,65 10 –7 м.
Наибольшая длина волны соответствует n = 3.
λmax = 6,56 10 –7 м.
Таким образом, видимый спектр водорода лежит в интервале длин волн от 3,65 10 –7 м до
6,56 10 –7 м.
Ответ: λ (3,65 10 –7; 6,56 10 –7) м.
Пример №4. Искусственно полученный радиоактивный изотоп кальция 45Ca20 имеет период полураспада, равный 164 суткам. Найти активность 1 мкг этого препарата.
Дано:
T = 14169600 c m = 10 – 9 кг
Na =6,02*1026 1/кг-атом m0 = 45 кг/кг-атом
A = ?
Число атомов N связано с массой препарата m соотношением: N = (m / m0) Na,
где Na – число Авогадро и m0 – масса одного кг-атома. Расчет:
A = |∆N | / ∆t = ln 2 m Na / T m0 = 6,53 10 8 расп/сек
1 кюри = 3,7 10 10 расп/сек, следовательно: А = 17,7 мккюри. Ответ: А = 17,7 мккюри.
24
Пример №5. Найдите энергию, освобождающуюся при ядерной реакции:
|
|
|
3 Li 7 + 1 H 1 → 2 He 4+ 2 He 4. |
Дано: |
|
Решение: |
|
|
|||
3 Li 7 + 1 H 1 → 2 He 4+ 2 He 4 |
|
E = c2 (∑ M1 - ∑ M2) = c2 ∆M. |
|
m1 |
= 7,01823 а.е.м |
|
Сумма масс исходных частиц: |
m2 |
= 1,00814 а.е.м |
|
∑ M1 = m1 + m2 = 8,02637 а.е.м. |
m3 |
= 4,00388 а.е.м |
|
Сумма масс образовавшихся частиц: |
|
|
|
∑ M2 = 2 m3 = 8,00776 а.е.м. |
|
E = ? |
|
|
|
Таким образом, дефект масс: |
||
|
|
|
∆M = 0,01861 а.е.м. |
|
Следовательно, энергия, выделившаяся при реакции: |
||
E = ∆M 931 МэВ Ответ: E = ∆M 931 МэВ
Пример №6. Принимая, что источником энергии солнечного излучения является энергия образования гелия из водорода по следующей циклической реакции:
6 C 12 + 1 H 1→ 7 N 13 → 6 C 13 + +1 e 0 6 C 13 + 1 H 1 → 7 N 14
7 N 14 + 1 H 1 → 8 O 15 → 7 N 15 + +1 e 0 7 N 15 + 1 H 1 → 6 C 12 + 2 He 4
Посчитать, сколько тонн водорода ежесекундно должно превращаться в гелий. Солнечная постоянная равна 1,96 кал/см2 мин. Принимая, что водород составляет 35 % массы Солнца, посчитать, на сколько лет хватит запаса водорода, если излучение Солнца считать неизменным.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
m(6 C 12) = 12,0038 а.е.м |
В результате проведенного цикла четыре водородных ядра превращаются |
|||||||
m(1 H 1) = 1,00814 а.е.м |
в одно ядро гелия. Углерод, ведущий себя как химический катализатор, мо- |
|||||||
m(7 N 13) = 13, 00987 а.е.м |
жет использоваться снова. В результате этого цикла освобождается энергия, |
|||||||
m(6 C 13) = 13,00335 а.е.м |
равная |
|
|
|
|
|
|
|
m(7 N 14) = 14,00752 а.е.м |
2 |
|
|
–12 |
Дж. |
|
|
|
m(2 He 4) = 4,00388 а.е.м |
E = c ∆M = 4,3 * 10 |
|
|
|
||||
где ∆M – дефект масс. |
|
|
|
|
|
|
||
m(7 N 15) = 15,00011 а.е.м |
|
|
|
|
|
|
||
m(+1 e 0) = 0,00055 а.е.м |
С другой стороны, зная величину солнечной постоянной и расстояние от |
|||||||
Земли до Солнца, найдем излучение Солнца в 1 секунду: |
|
|
||||||
1,96 кал/см2 мин |
|
|
||||||
Е1 = 3,8 10 |
26 |
Дж. |
|
|
|
|||
m(1 H 1) = Mc 0,35 |
|
|
–12 |
|
||||
Если превращение четырех атомов водорода дает энергию 4,3 10 |
Дж, |
|||||||
Mc = 2 10 30 кг |
|
|||||||
то очевидно, для излучения энергии 3,8 10 26 Дж необходимо расходовать во- |
||||||||
r = 1,49 10 11 м |
дород в количестве m = 5,9 10 11 кг в одну секунду. Так как масса Солнца |
|||||||
|
равна 2 10 30 кг, то запас водорода в солнечном веществе равен m(1 H 1) = Mc |
|||||||
t = ? |
||||||||
0,35 = 2 10 30 0,35 = 7 10 29 кг. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, данного |
запаса водорода хватит на t = 4 10 10 лет. |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: t = 4 10 10 лет. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример №7. В реакции 7 N 14 (α, p) кинетическая энергия α – частицы (2 He 4)равна |
|
|
||||||
Eα = 7,7 МэВ. Найти, под каким углом к направлению движения α – частицы вылетает протон, |
|
|
||||||
если известно, что его кинетическая энергия Ep = 8,5 МэВ. |
|
|
|
|
|
|
||
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
|
|
v1 |
M |
m2 |
|
|
|
|
ϕ |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
m1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v3 |
|
|
|
|
|
|
m3 |
Дано: |
|
Решение: |
|
|
||
|
|
|
||||
7 N 14 (α, p) |
|
Запишем ядерную реакцию: |
|
|||
Eα = 7,7 МэВ |
|
|
|
|
α + 7 N 14 → p + 8 O 16. |
|
Ep = 8,5 МэВ |
|
Обозначим m1, m2, m3 – массовые числа бомбардирующей α –частицы, |
||||
m1 = 4,00388 а.е.м |
|
протона и ядра отдачи (в нашем случае ядра кислорода 8 O 16) E1 , E2, E3 – их |
||||
m2 = 1,00759 а.е.м |
|
кинетические энергии. Если ядро азота неподвижно, то по закону сохранения |
||||
|
энергии: |
|
|
|||
m3 = 15,99491 а.е.м |
|
E1 + Q = E2 + E3, |
||||
φ = ? |
|
|
|
|
||
|
где Q – энергия ядерной реакции. |
|
||||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Закон сохранения импульса:
p3 2 = p1 2 + p2 2 – 2 p1 p2 cos φ.
Так как:
p 2 = (m v)2 = (m v2 / 2) 2 m = E 2 m,
то примет вид:
2 m3 E3 = 2 m1 E1 + 2 m2 E2 - 4 cos φ 
m1 E1 m2 E2 ,
или
E3 = m1 E1/ m3 + m2 E2/ m3 - 2 cos φ 
m1 E1 m2 E2 / m3.
Исключая энергию Е3 получим формулу, связывающую кинетическую энергию бомбардирующих частиц с кинетической энергией полученных частиц:
E1 (m3 - m1) / m3 + Q = E2 (m3 + m2) / m3 - 2 cos φ 
m1 E1 m2 E2 / m3.
Здесь Q = - 1,18 МэВ.
Решая относительно cos φ и подставив численные данные получим:
cos φ = (m3 + m2)/2 
m1 E1 m2 E2 - (m3 - m1) / 2 
m1 E1 m2 E2 – m3 Q / 2 
m1 E1 m2 E2 = 0,59. φ = arccos 0,59 = 54 0
Ответ: φ = arccos 0,59 = 54 0
Варианты задач автоматизированной контрольной ра- боты – АКР№9
1. Кинетическая энергия Т электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10эВ. Используя соотношение неопределенностей оценить максимальные размеры атома.
( Lmin = 22mTL )
26
2. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна де Бройлевской длине волны, определить относительную неопределенность ( Px / Px ) в определении импульса этой частицы.
( Px / Px = h / (2*π* x*Px) = h*Px / (2*π*h*Px)= 1/ 2*π = 0.16)
3. Рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть моноэнергетический пучок электронов с Wk = 10эВ падает на щель шириной а. Можно считать, что если электрон прошел через щель, то его координата известна с точностью х = а. Оценить получаемую при этом относительную неопределенность в определении импульса электронов в 2-х случаях : 1) а = 10нм ; 2) а = 0.1нм
(1) Px/Px = 1.2*10-2 ; 2) Px/Px = 1.2)
4. Электрон с энергией Е = 4.9 эВ движется в положительном направлении оси Х. Высота потенциального барьера равна 5 эВ. При какой ширине барьера d вероятность прохождения электрона через барьер будет равна 0.2?
|
=ln |
1 |
|
|
|
( d = |
W |
= 0.495 нм) |
|||
|
|||||
2 2m(U − E) |
|||||
5. Рентгеновское излучение длиной волны λ= 55,8 пм рассеивается плиткой графита (эффект Комптона). Определить длину волны λ` света, рассеянного под углом Θ= 600 к направлению падающего пучка света.
(λ` = 57 пм)
6. Определить угол рассеяния фотона Θ, испытавшего соударение со свободным электроном, если изменение длины волны при рассеянии равно Δλ = 3,62 пм.
(Θ=1200 или 2400)
7. Определить импульс электрона отдачи при эффекте Комптона, если фотон с энергией, равной энергии покоя электрона, был рассеян на угол Θ = 1800.
(3,6·10-22 кг·м/с)
8.Фотон с энергией ε = 0,25 МэВ рассеялся на свободном электроне. Энергия рассеянного электрона ε` = 0,2 МэВ. Определить угол рассеяния Θ.
9.Определить длину волны де Бройля λ, характеризующую волновые свойства электрона, если его скорость υ = 1Мм/с.
(727 пм)
10. Какую ускоряющую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы длина волны де Бройля была равна 0.1 нм?
(150 В)
11. Определить длину волны де Бройля λ электрона, прошедшую ускоряющую разность потенциалов 700 кВ.
(λ = 1.13 пм)
27
12. Определить длину волны де Бройля для нейтрона, движущегося со средней квадратичной скоростью при Т = 290 К.
(148 нм)
13. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройти протон, чтобы длина волн де Бройля λ для него стала 1 нм.
(U = 0,821 мВ)
14.Протон движется в однородном магнитном поле с В = 15 мГн по окружности радиусом R
=1,4 м. Определить длину волны де Бройля для протона.
(λ = 0,197 пм)
15. Определить частоту света, испускаемого возбужденным атомом водорода, при переходе электрона на второй энергетический уровень, если радиус орбиты электрона уменьшится в 9 раз.
(ν = 7,31·1014 с-1).
16. Определить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на второй.
(1,89 эВ)
17. Будет ли наблюдается фотоэффект если на поверхность серебра направить ультрафиолетовое излучение с λ = 300 нм?
(нет так как εγ = 4,1 эВ < Авых = 4,7 эВ)
18. На поверхность лития падает монохроматический свет с λ =310 нм. Чтобы прекратить эмиссию электронов, нужно приложить задерживающую разность потенциалов U=1,7В. Определить работу выхода А.
(2,3 эВ)
19. Для прекращения фотоэффекта, вызванного облучением ультрафиолетовым светом платиновой пластинки, приложить задерживающую разность потенциалов U1=3,7В. Если платиновую пластинку заменить на другой пластинкой, то задерживающую разность потенциалов придется увеличить до U2=6В. Определить работу выхода электронов с поверхности этой пластинки.
(4 эВ)
20. На цинковую пластинку падает свет с длиной волны λ=220 нм. Определить максимальную скорость фотоэлектронов.
(760нм/с).
28