Пример №7. Определить силу тока, протекающего по вольфрамовой проволоке, диаметром d = 0,8 мм, температура которого в вакууме поддерживается постоянной и равной t = 2800 0 С. Поверхность проволоки считать серой с поглощательной способностью АТ = 0,343. Удельное сопротивление проволоки при данной температуре ρ = 0,92 * 10 –4 Ом см. Температура окружающей проволоку среды t0= 17 0 С.

Занятие №34. Фотоэффект. Волны де Бройля

и

9

Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта:

где φ – угол рассеивания электрона.

Давление, производимое светом при нормальном падении на поверхность

p = [ Ee / c ] ( 1 + ρ ) = ω ( 1 + ρ ), (12)

где Ee = N h υ – облученность поверхности (энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени);

Примеры решения задач

Пример №1. Электрическая лампа мощностью 100Вт испускает 3% потребляемой энергии в форме видимого света (λ=550 нм) равномерно по всем направлениям. Сколько фотонов види-

10

мого света попадает за 1с в зрачок наблюдателя (диаметр зрачка 4 мм), находящегося на расстоянии 10 км от лампы?

11

Площадь зрачка наблюдателя

Sзр=π·d2.

Тогда

Nγ= N`γ· Sзр =0,03·P·t·λ·π·d2/4·π·r2·h·c.

Проверка единицы измерения расчетной величины

Nγ =1=Дж·м2·м·с/м2·Дж·м·с=1

Расчет числового значения: Nз=8,3·104 фотонов. Ответ: Nз=8,3·104фотонов.

Пример №2. Найти постоянную Планка h, если известно, что электроны, вырываемые из металла светом с частотой υ1 = 2,2·1015, полностью задерживается разностью потенциалов

Uз1 = 6.6 В, а вырываемые светом с частотой υ2 = 4,6·1015 Гц разностью потенциалов

Uз2 = 16.5 В.

Выразим изАвых:

Авых = h·υ1- е·Uз1,

и подставим в уравнение Эйнштейна

h·υ2 = h·υ1 -е·Uз1+ е·Uз2.

Преобразуем так:

h·( υ2-υ1) = е·(Uз2-Uз1).

И получим:

h = e·(Uз1-Uз2)/( υ2- υ1).

Проверим единицу измерения:

(h) = Дж·с=Кл·В/с-1= Дж·с

Расчет: h=1,6·10-19Кл·9,9В/2,4·1015=6,6·10-34Дж·с Ответ: h=6.6·10-34 Дж·с.

12

Пример №3. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь прошел ускоряющую разность потенциалов U=30кВ. Найти длину волны де Бройля.

Если Тк =< T0 , то движение электрона является релятивистским, если Тк<<T0, то классическим.

Т = е·U1 = 1.6·10-19 ·3·104Дж = 4.8·10-15Дж = 3·104 эВ; еU = me ·v2 / 2.

V = 2eU .

me

E0 = m0·c2=0.5 МэВ = 5·105эВ

Т. к Т<<Е0- имеем дело с классическим случаем движения электрона. Тогда

Расчет числовой величины:

λ= 11, 61 10 –25 м.

Ответ: λ = 11, 61 * 10 –25 м.

Пример №4. Определить максимальную скорость υмах фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны λ1 = 0,155 мкм; 2) γ – излучением с длиной волны λ2 = 2,47 пм.

или по релятивистской:

Ек = ( m - m0 ) с2.

Скорость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэффект: если энергия фотона во много раз меньше энергии покоя электрона, то может быть применена классическая формула; если же энергия фотона сравнима с энергией покоя электрона то вычисление по классической формуле приводит к грубой ошибке, в этом случае кинетическую энергию фотоэлектрона необходимо выражать по релятивистской формуле.

ε1 = h c / λ1. ε1 = 8 эВ.

13

Это значение энергии фотона много меньше энергии покоя электрона (0,51 МэВ). Следовательно, для данного случая:

ε1 = А вых + m0 υ2 / 2,

откуда:

Расчет:

υмах = 1,08 Мм/с.

Вычислим энергию фотона γ – излучения:

ε2 = h c / λ2 = 8,04 * 10 –15 Дж = 0,502 МэВ.

Работа выхода электрона пренебрежимо мала по сравнению с энергией γ – фотона, поэтому можно принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона:

Ек мах = ε2 = 0,502 МэВ.

Так как в данном случае кинетическая энергия электрона сравнима с его энергией покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии:

Ек мах = Е0 ( 1/ 1−β2 – 1 ),

где Е0 = m0 с2, выполнив преобразования получим:

β = 1−β2 (2 Е0 + Ек мах) Ек мах / ( Е0 + Ек мах) = 0,755

Следовательно, максимальная скорость фотоэлектронов, вырываемых γ – излучением:

υмах = с β = 226 Мм/с.

Ответ: 1) υмах = 1,08 Мм/с. 2) υмах = 226 Мм/с.

Пример №5. Определить красную границу λ0 фотоэффекта для цезия, если при облучении его поверхности фиолетовым светом длиной волны λ= 400 нм максимальная скорость фотоэлектронов равна υмах = 0,65 Мм/с?

Работу выхода для цезия определим с помощью уравнения Эйнштейна:

А вых = ε - Ек = h c / λ - m υ2 / 2 = 3,05 * 10 –19 Дж,

тогда:

λ0 = 640 нм.

Ответ: λ0 = 640 нм.

Пример №6. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол θ = 90 0. Энергия ε, рассеянного фотона равна 0,4 МэВ. Определить энергию ε фотона до рассеяния.

14

преобразуем, с учетом:

ε= 2 π ħ с / λ,

адлины волн λ, и λ выразим через энергии ε, и ε соответствующих фотонов:

2 π ħ с / ε, - 2 π ħ с / ε = (2 π ħ с/ m с2 ) 2 sin 2 θ/2

ε = ( ε, m с2 ) / m с2 - ε, 2 sin 2 θ/2 = ε, Е0 / Е0 – 2 ε, sin 2 θ/2, где Е0 = m0 с2

Расчет: ε = 1,85 МэВ.

Ответ: ε = 1,85 МэВ.

Пример №7. Параллельный пучок света длиной волны λ = 500 нм падает нормально на зачерненную поверхность, производя давление р = 10 мкПа. Определить: 1) концентрацию фотонов n в пучке; 2) число фотонов n1 , падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1 с.

Энергия фотона зависит от частоты, а следовательно и от длины световой волны:

ε = h υ = h c / λ.

Получим искомую концентрацию фотонов:

n = p λ / ( 1 + ρ ) h c.

Коэффициент отражения ρ для зачерненной поверхности принимаем равным нулю. Расчет:

n = 2,52 * 10 13 м –3 .

Число фотонов n1, падающих на поверхность площадью 1 м2 за время 1 с, найдем из соотношения n1 = N / S t , где N – число фотонов, падающих за время t на поверхность площадью S.

Но N = n c S t, следовательно, n1 = n c S t / S t = n c

Расчет:

n1 = 7, 56 * 10 21 м –2 с –1 Ответ: n = 2,52 * 10 13 м –3, n1 = 7, 56 * 10 21 м –2 с –1.

15