Занятие №35. Соотношения неопределенностей. Урав- нение Шредингера

где интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т. е. по координатам x, y, z от - ∞ до + ∞.

Вероятность обнаружения частицы в интервале от x1 до x2:

где Ψ = Ψ ( x, y, z, t ) – волновая функция, описывающая состояние частицы;

ħ = h / 2 π;

16

m- масса частицы;

-оператор Лапласа (ΔΨ = ∂2Ψ / ∂x2 + ∂2Ψ / ∂y2 + ∂2Ψ / ∂z2 );

i = −1 - мнимая единица;

U = U ( x, y, z, t ) - потенциальная энергия частицы в силовом поле, в котором она движется. Уравнение Шредингера для стационарных состояний:

где ψ = ψ ( x, y, z ) – координатная часть волновой функции

Ψ ( x, y, z, t ) = ψ ( x, y, z ) e – i * ( E / ħ ) * t );

U = U ( x, y, z ) - потенциальная функция частицы в силовом поле, в котором частица дви-

где A – амплитуда волны де Бройля; px = k ħ - импульс частицы;

E = ħ ω - энергия частицы.

Собственные значения энергии En частицы, находящейся на n–м энергетическом уровне в

где l – ширина ямы.

Собственная волновая функция, соответствующая вышеприведенному собственному значению энергии:

Коэффициент прозрачности D прямоугольного потенциального барьера конечной ширины l:

где D0 – множитель, который можно приравнять единице; U - высота потенциального барьера;

E - энергия частицы.

Уравнение Шредингера для линейного гармонического осциллятора в квантовой механике:

17

Примеры решения задач

Пример №1. Кинетическая энергия Е электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10 эВ. Используя соотношения неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома.

где x – неопределенность координаты электрона; p – неопределенность его импульса.

Из этого соотношения следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а следовательно и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры l, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью x = l / 2. Соотношение неопределенностей можно записать в этом случае в виде

l/2 p≥ ħ,

шать значение самого импульса р, т. е. p ≤ p. Импульс р связан с кинетической энергией Е соотношением

p = 2mE .

Заменим p значением 2mE (такая замена не увеличит l ).

Тогда: l min = 2ħ / 2mE .

Расчет: l min = 124 пм.

Ответ: l min = 124 пм.

Пример №2. Определить неопределенность х в определении координаты электрона, движущегося в атоме водорода со скоростью ν = 1.5*106 м/с, если допускаемая неопределенность Δν в определении скорости составляет 10 % от ее величины.

Ответ: х = 0.77 м

Пример №3. Электрон находится в бесконечно глубоком одномерном потенциальном ящике (яме) шириной L = 0.5 нм на первом энергетическом уровне. Найти вероятность нахождения электрона в интервале L / 4 , равно удаленном от стенок ящика.

18

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальном ящике, имеет вид:

Ответ: W = P = 0,2485 ≈ 0,249.

Пример №4. Электрон проходит через прямоугольный потенциальный барьер шириной

d = 0.5 нм Высота барьера U больше энергии Е электрона на 1%. Вычислить коэффициент прозрачности D если энергия электрона Е = 100 эВ.

Ответ: D = 6.5*10-3.

19

Пример №5. Частица находится в одномерной прямоугольной "потенциальной яме" шириной l с бесконечно высокими "стенками". Запишите уравнение Шредингера в пределах "ямы" 0 ≤ Х ≤ l и решите его.

k2 = 2=m2 E ,

∂2Ψ + k2Ψ = 0 . ∂x2

Ψ(x) = A sin kx + B cos kx .

Ψ(0) = 0 , B = 0, Ψ(x) = A sin kx , k = nlπ ,

Прмер №6. Частица с энергией Е движется в положительном направлении оси х и встречает на своем пути бесконечно широкий прямоугольный барьер высотой U, причем Е < U. Принимая А1 = 1 и используя условия непрерывности волновой функции и ее первой производной на границе областей 1 и 2, определить плотность вероятности | Ψ2(0) | 2 обнаружения частицы в точке х = 0 области 2.

U

E < U

U

1 2

x