Тольяттинский государственный университет Физико-технический институт
Кафедра «Общая и теоретическая физика»
Потемкина Л.О., Павлова А.П., Леванова Н.Г.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ
3й семестр
Модуль 8
ОПТИКА
Тольятти 2007
Содержание |
|
Занятие №30. Интерференция света................................................................................................................................ |
3 |
Основные формулы..................................................................................................................................................... |
3 |
Примеры решения задач............................................................................................................................................. |
4 |
Занятие №31. Дифракция света..................................................................................................................................... |
11 |
Основные формулы................................................................................................................................................... |
11 |
Примеры решения задач........................................................................................................................................... |
12 |
Занятие №32. Поляризация света.................................................................................................................................. |
18 |
Основные формулы................................................................................................................................................... |
18 |
Примеры решения задач........................................................................................................................................... |
19 |
Примерный вариант автоматизированной контрольной работы – АКР №8 ............................................................. |
27 |
2
Занятие №30. Интерференция света
Основные формулы
Скорость света в среде:
υ = |
с |
, |
(1) |
|
n |
||||
|
|
|
где с – скорость света в вакууме;
n – абсолютный показатель преломления среды. Разность фаз двух когерентных волн:
δ = |
2π |
(L |
− L ) = |
2π |
, |
|
λ |
λ |
|||||
|
2 |
1 |
|
|||
0 |
|
0 |
|
|||
где L = sn – оптическая длина пути (s – геометрическая длина пути световой волны в среде; n – показатель преломления этой среды);
∆= L2 – L1 – оптическая разность хода двух световых волн;
λ0 - длина волны в вакууме.
Условие интерференционных максимумов:
∆ = ± m λ0, (m = 0, 1, 2, …).
Условие интерференционных минимумов:
∆ = ±(2 m+1)λ0/2 (m = 0, 1, 2, …).
Ширина интерференционной полосы
(2)
(3)
(4)
x = |
l |
λ |
, |
(5) |
|
d |
|||||
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
где d – расстояние между двумя когерентными источниками, находящимися на расстоянии l от экрана, параллельного обоим источникам, при условии l >> d.
Условия максимумов и минимумов при интерференции света, отраженного от верхней и нижней поверхностей тонкой плоскопараллельной пленки, находящейся в воздухе (n0 = 1),
2dn cos r ± λ20 = 2d 
n2 −sin2 i ± λ20 = mλ0 (m = 0, 1, 2, …),
2dn cos r ± λ20 = 2d n2 −sin2 i ± λ20 =( 2m +1) λ20
(m = 0, 1, 2, …),
где d – толщина пленки;
n – ее показатель преломления; i – угол падения;
r – угол преломления.
(6)
(7)
В общем случае член ± λ20 обусловлен потерей полуволны при отражении света от границы раздела: если n > n0 , то необходимо употреблять знак плюс, если n < n0 – знак минус.
Радиусы светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных в проходящем свете): |
|
||||
r = |
(m − 1)λ |
R |
(m = 0, 1, 2, …), |
(8) |
|
m |
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где m – номер кольца;
3
R – радиус кривизны линзы.
Радиусы темных колец Ньютона в отраженном свете (или светлых в проходящем свете):
rm* = mλ0R (m = 0, 1, 2, …). |
(9) |
В случае «просветления оптики» интерферирующие лучи в отраженном свете гасят друг друга при условии:
n = nc , |
(10) |
где nc – показатель преломления стекла; n – показатель преломления пленки.
Примеры решения задач
Пример №1. Определите длину отрезка l1, на котором укладывается столько же длин волн монохроматического света в вакууме, сколько их укладывается на отрезке l2 = 5 мм в стекле. Показатель преломления стекла n = 1,5.
Дано: n1 = 1 n2 = 1,5
l2 = 5 мм = 5·10-3 м
l1 = l2
λ1 λ2
l1 = ?
на отрезке l2 в стекле:
Ответ: 7,5 мм.
Решение:
Длина волны: λ =υT , учитывая, что период:
T = 1ν ,
где ν - частота колебаний, υ = λν , υ = nc λ = ncν .
Из условия, что длина отрезка l1, на котором укладывается столько же длин волн монохроматического света в вакууме, сколько их укладывается
l1 |
= |
l2 |
l1 =l2 |
λ1 |
n2 |
|
−3 1,5 |
= 7,5 мм. |
|
|
|
|
|
l1 =l2 n |
=5 10 |
1 |
|||
λ |
λ |
λ |
2 |
||||||
1 |
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
Пример №2. Два параллельных световых пучка, отстоящих друг от друга на расстоянии d = 5 см, падают на кварцевую призму (n = 1,49) с преломляющим углом a = 25° . Определите оптическую разность хода ∆ этих пучков на выходе их из призмы.
Дано: |
Решение: |
d = 5 см = 5·102м |
Разность оптического хода определим как: |
n = 1,49 |
=(A2 −A1 )n и = BC n , |
a = 25° |
где n – показатель преломления |
∆ - ? |
|
|
|
4
Из ABC BC = d tgα
∆ = nd tga = 1,49·5·102 tg25° = 3,47 см.
Ответ: 3,47 см.
Пример №3. В опыте Юнга расстояние между щелями d = 1 мм, а расстояние l от щелей до экрана равно 3 м. Определите: 1) положение первой световой полосы; 2) положение третьей темной полосы, если щели освещать монохроматическим светом с длиной волны λ = 0,5 мкм.
Дано:
d = 1 мм = 10-3 м l = 3 м
λ = 0,5 мкм = 5·107 м
X1max = ?
X3min = ?
Решение:
max ∆ = ± m λ (m = 0, 1, 2, …),
-оптическая разность хода (условие интерференционного максимума) min ∆ = ±(2 m+1)λ/2 (m = 0, 1, 2, …),
-оптическая разность хода (условие интерференционного минимума)
Интенсивность в любой точке экрана, лежащей на расстоянии x от О, определяется оптической разностью хода ∆ = S2 - S1
Из рисунка имеем
|
2 |
|
2 |
|
d |
2 |
2 |
|
2 |
|
d |
2 |
|
откуда S 2 |
−S 2 |
= 2dx или |
|
|
|
|
2xd |
. |
|
S |
|
=l |
|
+(x + |
2 |
) S |
|
=l |
|
+(x − |
2 |
) |
|
2 |
1 |
|
= S2 |
− S1 |
= |
(S1 |
+ S2 ) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Из условия l >> d следует, что S + S |
|
≈ 2l поэтому |
= xd . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставив найденное значение ∆ в условия максимума и минимума xd = ± mλ |
полу- |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
l |
|
чим, что максимумы интенсивности будет X |
=±m |
λ |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
l |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
X |
=± |
|
λ= |
|
5 107 |
=1,5 мм (m=1) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1max |
|
|
10-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
|
|
|||
минимумы: xd = ± |
|
|
+ |
1)λ |
X =±(m+1 ) |
λ |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
l |
|
|
( 2m |
|
min |
2 |
|
d |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
l |
|
|
7λl |
|
|
|
|
|||||||||
X |
|
=±(3+1 ) |
λ=± |
=5,22 мм |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3min |
|
|
|
2 |
|
d |
|
|
2d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Ответ: 1) 1,5 мм; 2) 5,22 мм.
Пример №4. В опыте с зеркалами Френеля расстояние d между мнимыми изображениями источника света равно 0,5 мм, расстояние l от них до экрана равно 5 м. В желтом свете ширина интерференционных полос равна 6 мм. Определите длину волны желтого света.
5
Дано: |
Решение: |
|
|
d = 0,5 мм =5·10-4 м |
max ∆ = ± m λ (m = 0, 1, 2, …), |
|
|
l = 5 м |
- оптическая разность хода (условие интерференционного максиму- |
||
λ = 6 мм = 6·10-3 м |
ма). |
|
|
|
См. Пример №3 |
|
|
λ = ? |
|
|
|
|
xd |
= ± mλ |
, |
|
l |
|
|
Xmax=±m dl λ,
Расстояние между двумя соседними максимумами, называемое шириной интерференционной полосы, равно:
x=dl λ
Определим длину волны желтого света:
λ = xdl = 0,6 мкм.
Ответ: 0,6 мкм.
Пример №5. Расстояние между двумя щелями в опыте Юнга d = 0,5 мм (λ = 0,6 мкм). Определите расстояние l от щелей до экрана, если ∆x интерференционных полос равна 1,2 м.
Дано: |
Решение: |
|
|
|
||
d = 0,5 мм =5·10-4 м |
max ∆ = ± m λ (m = 0, 1, 2, …), |
|
|
|
||
∆x =1,2 мм = 1,2·10-3м |
- оптическая разность хода (условие интерференционного максимума) |
|||||
λ = 0,6 мкм = 6·107 м |
См. Пример №3 |
|
|
|
||
|
l = ? |
|
|
|
|
|
|
X max d |
= ± mλ получим, что максимумы интенсивности будут X =±m |
l |
|
λ. |
|
|
|
|||||
|
|
d |
||||
|
l |
max |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Расстояние между двумя соседними максимумами, называемое шириной интерференционной полосы, равно:
x=dl λ
Определим расстояние l от щелей до экрана:
l = |
xd |
=1 |
м. |
|
|||
|
λ |
|
|
Ответ: 1 м.
Пример №6. В опыте Юнга расстояние l от щелей до экрана равно 3 м. Определите угловое расстояние между соседними светлыми полосами, если третья световая полоса на экране отстоит от центра интерференционной картины на 4,5 мм.
Дано: m = 3
x =4,5 мм = 4,5 ·10-3м l = 3 м
∆a = ?
Решение:
max ∆ = ± m λ - оптическая разность хода (условие интерференционного максимума)
См. Пример №3
6
xdl = mλ (m = 0, 1, 2, …).
α ≈tgα = xl = mdλ, т. к. α является малым углом по величине;
Определим угловое расстояние между соседними светлыми полосами:
Δα = mdλ − (m −d1)λ = dλ = mxl = 5 10−4 рад.
Ответ: 5·10–4 рад.
Пример №7. Если в опыте Юнга на пути одного из интерферирующих лучей поместить перпендикулярно этому лучу тонкую стеклянную пластинку (n = 1,5), то центральная светлая полоса смещается в положение, первоначально занимаемое пятой светлой полосой. Длина волны λ = 0,5 мкм. Определите толщину пластинки.
Дано: n = 1,5 m = 5 м
λ = 0,6 мкм = 5·10-7 м
d = ?
Ответ: 5 мкм.
Решение:
Разность оптического хода определим как:
∆ = nd – d= d(n-1), ∆ = mλ
mλ = d(n-1),
Определим толщину пластинки
d = mn-λ1 = 5 15,510−1−7 =5 мкм.
Пример №8. Определите, во сколько раз измениться ширина интерференционных полос на экране в опыте с зеркалом Френеля, если фиолетовый светофильтр (0,4 мкм) заменить красным
(0,7 мкм).
Дано: |
Решение: |
|
|
|
|
|||
λ1 |
= 0,4 мкм |
max ∆ = ± m λ (1) (m = 0, 1, 2, …), |
|
|||||
λ2 |
= 0,7 мкм |
- оптическая разность хода (условие интерференционного максимума) |
|
|||||
|
|
|
См. Пример №3 |
|
||||
|
|
x1 |
|
|||||
|
|
|
= ? |
xd = ± mλ |
получим, что максимумы интенсивности будет: X =±m |
l |
|
|
|
|
x2 |
λ. |
|||||
|
|
|
d |
|||||
|
|
|
|
l |
|
|
||
Ширину интерференционных полос на экране определим как:
x = |
mlλ |
− |
(m −1)lλ |
= |
lλ |
, |
|||||
d |
|
|
d |
|
d |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x1 |
= |
λ2 |
|
= |
0,7 |
=1,75 . |
|
||||
x |
2 |
λ |
0,4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1,75.
Пример №9. Расстояние от бипризмы Френеля до узкой щели и экрана соответственно равно a = 30 см и b = 1,5 м. Бипризма стеклянная (n = 1,5) с преломляющим углом ϑ = 20′. Определите длину волны света, если ширина интерференционных полос ∆x = 0,65 мм.
7
Дано:
ϑ = 20′
a = 30 см = 0,3 м b = 1,5 м
n = 1,5
∆x = 0,65 мм = 6,5·10-4 м
λ = ?
Вычисления:
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
ϕ =(n −1)ϑ, |
x = |
lλ |
, λ = |
xd |
, l = a +b , |
||
d |
|||||||
l |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
Находим d из двух треугольников |
SS1B и |
СS2S: |
|||||
d =2a sinϕ =2aϕ =2a(n −1)ϑ . |
|||||||
Находим длину волны света: |
|
|
|
|
|||
λ = 2a(n −1)ϑ |
x . |
|
|
|
|
||
a +b |
|
|
|
|
|
|
|
ϑ = 20′ = 20 2,91 10−4 = 5,82 10−3 рад.
Определим длину волны света:
λ = |
2 30 10−2 м 0,5 5,82 10−3 рад 0,65 10−3 м |
= 6,3 10−7 м. |
|
(1,5 +0,3 )м |
|
Ответ: 6,3·10–7 м.
Пример №10. На плоскопараллельную пленку с показателем преломления n = 1,33 под углом i = 45° падает параллельный пучок белого света. Определите, при какой наименьшей толщине пленки зеркально отраженный свет наиболее сильно окраситься в желтый цвет
(λ = 0,6 мкм).
Дано: |
Решение: |
n = 1,33 |
max ∆ = ± m λ (m = 0, 1, 2, …), |
i = 45° |
- оптическая разность хода (условие интерференционного макси- |
λ = 0,6 мкм = 6·10-7 м |
мума) |
d = ? |
|
|
|
=(AB + BC)n −(AE − 2λ )
8
AB = BC = |
d |
, AD = d tgr, из |
ADB и BCD |
|
cosr |
||||
|
|
|
||
AE=2d tgr sin i, AE=AC sin i, из |
AEC, |
|||
ABD = DBC AD = DC AC=2AD
Подставим найденные значения
= cos2dnr −2d tgr sin i + 2λ ,
По закону преломления света:
|
sin i |
= n , tgr = sin r |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
sin r |
|
|
|
cos r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Произведем замену: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2d |
|
(n −sin r sin i) |
+ |
λ |
= λ, (m=1), |
|
|
|||||||||||||||
|
cos r |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
2d |
|
(n −sin2 r sin i |
|
) = |
λ |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
cos r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
sin r |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2dn |
|
(1−sin2 r) = |
λ |
, |
|
2dn |
cos2 |
r = |
λ |
, |
|
|
||||||||||
|
cos r |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2 |
|
cos r |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||
2dn cos r = |
λ |
, d = |
|
|
|
λ |
|
, |
cos r = 1−sin2 r = 1 |
n2 −sin2 i , |
|||||||||||||
4n cosr |
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||
Определим толщину пленки: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
6 10−7 |
=133нм |
|
||||||||||||
|
d = 4 n2 −sin2 i = |
4 |
|
1,332 |
−sin2 45 |
|
|||||||||||||||||
Ответ: 133 нм.
Пример №11. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом с длиной волны λ = 0,6 мкм, падающим нормально. Пространство между линзой и стеклянной пластинкой заполнено жидкостью, и наблюдение ведется в проходящем свете. Радиус кривизны линзы R = 4 м. Определите показатель преломления жидкости, если радиус второго светлого кольца r = 1,8 мм.
Дано:
r = 1,8 мм =1,8 ·10-7 м R = 4 м
m = 2
λ = 0,6 мкм = 6·10-7 м
n = ?
Решение:
max ∆ = ± m λ (m = 2),
- оптическая разность хода (условие интерференционного максимума) Радиусы светлых колец Ньютона:
rm = 
R2 −(R −d)2 ≈ 
2Rd
Потеря полуволны происходит на обеих поверхностях; следовательно, условие максимума 2dn=mλ, где nd – оптическая толщина пленки
= 2dn; d = 2rR2 ; n = 2d
9
Определим показатель преломления жидкости:
|
|
|
n = |
mλ |
, |
|
|
|
2d |
||
|
|
|
|
|
|
n = mλ 2R = mRλ = 2 4 6 10−7 |
=1,48. |
|
|
||
2r2 |
r2 |
(1,8 10−7 )2 |
|
|
|
Ответ: 1,48.
Пример №12. Установка для наблюдения колец Ньютона освещается монохроматическим светом, падающим нормально. При заполнении пространства между линзой и стеклянной пластинкой прозрачной жидкостью радиусы темных колец в отраженном свете уменьшились в 1,21 раза. Определите показатель преломления жидкости.
Дано: |
Решение: |
||
|
r |
|
min ∆ = ±(2 m+1)λ/2 |
1 |
= 1,21 |
- оптическая разность хода (условие интерференционного минимума) |
|
|
r |
||
2 |
|
Радиусы темных колец Ньютона: |
|
|
|
n = ? |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r ≈ |
2Rd |
|
= |
2dn |
+ |
λ |
, |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mλ |
|
|||
где nd – оптическая толщина пленки 2dn + |
λ |
|
=( 2m +1) |
|
λ |
|
d = |
. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2n |
|||||
rm = |
2Rmλ = |
|
Rmλ |
, |
|
|
|||||||||
|
2n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||
r = Rmλ r = |
|
Rmλ r1 = n . |
|||||||||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
n |
|
r2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определим показатель преломления жидкости:
n = r1 2 =1,212 =1,46r2
Ответ: 1,46.
10