n = Nl ,
заменим N через d. |
|
|
|
||||
n = |
1 |
= sinφ= |
|
sin30° |
|
=250. |
|
d |
4 |
5 10−7 |
м |
||||
|
mλ |
|
Ответ: n=250.
Пример №10. Монохроматический свет нормально падает на дифракционную решётку. Определите угол дифракции, соответствующий максимумы 4-го порядка, если максимум третьего порядка отклонён на ϕ =18º
Дано:
m3 =3 m4 = 4
ϕ3 =18D
ϕ4 −?
Решение:
Запишем формулу максимума дифракционной решётки. dsinφ3 = m3λ - для третьего максимума
dsinφ4 = m4 λ - для четвёртого
Для одной и той же решётки период константа (d =const), а длина волны ( λ) постоянна по условию, значит постоянным останется отношение синуса
угла, соответствующего максимуму, к его номеру этого максимума.
sinφ3 = m3 . sinφ4 m4
Выразим синус угла третьего четвёртого максимума
|
|
|
|
|
sinφ4 |
= |
m4 |
sinφ3 . |
|
|
|
|
|
m3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
4 |
|
|
|
||
|
m4 |
|
|
|
||||
φ4 |
= arcsin |
|
sinφ3 |
= arcsin |
sin18° =24º20´. |
|||
|
||||||||
|
m3 |
|
3 |
|
|
|
Ответ: φ4 =24º20´.
Занятие №32. Поляризация света
Основные формулы
Степень поляризации света:
P= |
Imax −Imin |
, |
(1) |
|
|||
|
Imax +Imin |
|
где Imaxи Imin − соответственно максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света, пропускаемого анализатором.
Закон Малюса:
I =I0 cos2 α, |
(2) |
где I−интенсивность плоскополяризованного света, прошедшего через анализатор;
18
I0 − интенсивность плоскополяризованного света, падающего на анализатор; |
|
α −угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора. |
|
Закон Брюстера: |
|
tgiB = n21, |
(3) |
где iB −угол падения, при котором отраженный от диэлектрика луч является плоскополяризованным;
n21 −относительный показатель преломления.
Оптическая разность хода между обыкновенным и необыкновенным лучами на пути Aв ячейке Керра:
= A(n0 −ne )=κAE2 , |
(4) |
где n0 , ne −показатели преломления соответственно обыкновенного и необыкновенного лучей в направлении, перпендикулярном оптической оси;
E −напряжённость электрического поля; κ −постоянная.
Оптическая разность хода для пластинки в четверть волны
|
|
1 |
|
|
|
|
=(n0 |
−ne )d =± m+ |
|
λ0 |
(m =0,1,2,...), |
(5) |
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
||
где знак плюс соответствует отрицательным кристаллам, |
|
|||||
минус – положительным; |
|
|
|
|
|
|
λ0 − длина волны в вакууме. |
|
|
|
|
|
|
Угол поворота плоскости поляризации: |
|
|
|
|
||
для оптически активных кристаллов и чистых жидкостей |
|
|||||
|
ϕ = α |
d ; |
|
(6) |
||
для оптически активных растворов |
ϕ=[α]C d, |
|
|
|||
|
|
(7) |
где d −длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе; α0 [α]− удельное вращение;
C −массовая концентрация оптически активного вещества в растворе.
Примеры решения задач
Пример №1. Определите степень поляризации частично поляризованного света, если амплитуда светового вектора, соответствующая максимальной интенсивности света, в 3 раза больше амплитуды, соответствующей его минимальной интенсивности.
19
Дано: |
Решение: |
|
E0max |
=3 |
Применим формулу для степени поляризации: |
||
|
|
Imax −Imin |
|
||
|
|
|
|
||
|
E0min |
P = |
, |
||
|
Imax +Imin |
||||
|
|
P−? |
|
||
|
|
|
|
|
Imax и Imin – максимальная и минимальная интенсивности частично поляризованного света.
I ~ E02 ,
( E0 − амплитуда светового вектора) Произведём замену и подстановку:
|
2 |
2 |
|
|
2 |
|
−1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
E0max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P = |
E0max −E0min |
= |
E0min |
|
= |
3 |
−1 |
= |
8 |
=0,8. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
E02max +E02min |
|
|
32 |
+1 |
10 |
||||||||||
|
|
E2 |
|
+1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
E2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
0max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 0,8.
Пример №2. Степень поляризации частично поляризованного света составляет
0,75.Определите отношение максимальной интенсивности света, пропускаемого анализатором, к минимальной.
Дано: |
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P =0,75 |
|
Воспользуемся формулой из примера 1: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Imax−Imin |
|
|
|
Imax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
−? |
|
|
|
|
|
P=Imax+Imin |
; |
||||||||
|
Imin |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где P – степень |
поляризации; |
|
|
|
Imax |
−1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
P = |
|
Imin |
|
; |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Imax |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Imin |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Сделаем преобразования формулы, получим: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Imax |
|
|
|
|
Imax |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
−1 |
= P |
|
|
|
|
|
+1 ; |
|
||
|
|
|
|
|
Imin |
|
|
Imin |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Математически преобразуем выражение:
|
|
|
Imax |
−1 = P |
Imax |
+ P; |
||||
|
|
|
|
Imin |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Imin |
|||
|
|
|
|
Imax |
−P |
Imax |
|
= P +1; |
||
|
|
|
|
|
Imin |
|||||
|
|
|
|
Imin |
|
|
|
|||
Вынесем |
Imax |
за скобки в левой части: |
|
|
|
|
|
|||
Imin |
|
|
|
|
|
20
Imax |
(1−P)=1+P |
Imax |
= |
1+P |
Imin |
|
1−P |
||
|
Imin |
Произведём вычисления:
Imax =1+0,75 =1,75 =7. Imin 1−0,75 0,25
Ответ: 7.
Пример №3. Определите степень поляризации P света, который представляет собой смесь естественного света с плоскополяризованным, если интенсивность поляризованного света равна интенсивности естественного.
Дано: |
Решение: |
||
Iп =Iест |
P = |
Imax −Imin |
; |
|
|
Imax +Imin |
|
P −? |
|
Найдём значение Imax и Imin:
Imax = Iп + 12 Iест = Iп + 12 Iп = 32 Iп;
где In − плоскополяризованный свет;
Iест−естественный свет;
Imin = 12 Iест = 12 Iп;
Подставим найденные значения Imax и Imin в формулу для степени поляризации:
|
3 |
1 |
|
|
|
|
P = |
2 Iп − |
2 Iп |
= |
Iп |
= 0,5. |
|
3 |
1 |
2Iп |
||||
|
|
|
||||
|
2 I п+ |
2 Iп |
|
|
|
Ответ: 0,5.
Пример №4. Угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора составляет 30°.Определите изменение интенсивности прошедшего через них света, если угол между главными плоскостями равен 45°.
Дано:
α1 =300 α2 =450
I1 −?
I2
Решение:
Закон Малюса:
I1 = I0 cos2 α1;
где I0 – интенсивность света, вышедшего из поляризатора на анализатор; I1 – интенсивность света, вышедшего из анализатора;
α1 – угол между оптическими осями кристаллов.
I2 =I0 cos2 α2;
Найдём отношение I1 :
I2
21
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
|
= |
|
cos2 |
α |
1 |
; |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
cos2 |
α2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
= |
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos 45 |
|
|
|
. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Произведём вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
I1 = cos |
2 |
α1 |
= cos |
2 |
30 |
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
|
|
= |
|
=1,5. |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
I2 |
cos2 α2 |
cos2 450 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1,5.
Пример №5. Определите, во сколько раз ослабится интенсивность света, прошедшего через два николя, расположенные так, что угол между их главными плоскостями α = 60°, а в каждом из николей теряется 5% интенсивности падающего на него света.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I0 |
|
O |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O ′ |
I2 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Дано: |
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
α = 600 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I1 = |
I0 |
, |
|
||||||||
k1 = k2 = 0,05 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
где I0 - интенсивность естественного света; |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
I0 |
|
−? |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
I2 |
|
I1- интенсивность плоскополяризованного света; |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Интенсивность |
света прошедшего через поляризатор: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
1 |
= |
1 |
(1 −(k |
1 |
+ k |
2 |
|
))I |
0 |
|
= |
1 |
|
0,9I |
0 |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Интенсивность света прошедшего через анализатор: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
= I |
0,9 cos 2 α = |
|
1 |
I |
|
|
0,92 |
cos 2 α; |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I0 |
= |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,92 cos2 α |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Учитывая, что cos60° = |
1 |
, получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
I0 |
= |
|
2 4 |
|
= 9,88. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0,92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
I2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 9,88.
22
Пример №6. Естественный свет интенсивностью I 0 проходит через поляризатор и анализа-
тор, угол между главными плоскостями которых составляет α . После прохождения света через эту систему он падает на зеркало и, отразившись, проходит вновь через неё. Пренебрегая по-
глощением света, определите интенсивность I света после его обратного прохождения.
I1 I3 |
E |
E cosα |
I,I0 |
|
α |
|
|
I2 |
П
А
Дано: |
Решение: |
|
= 1 |
I |
, |
|
α |
I |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 |
I0 |
|
2 |
|
|||
|
где I0- интенсивность естественного света; |
|||||
I −? |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
I1- интенсивность плоскополяризованного света; По закону Малюса:
I2 = I1 cos2 α
Подставим и получим:
Интенсивность света прошедшего через анализатор:
I2 = 12 I0 cos2 α;
Интенсивность света при попадании на зеркало:
I3 = I2 = 12 I0 cos 2 α;
Интенсивность света после обратного прохождения:
I = I3 cos 2 α = 12 I0 cos 4 α;
I = 12 I 0 cos 4 α .
Ответ: I = 12 I 0 cos 4 α .
Пример №7. Пучок естественного света падает на стеклянную призму с углом α = 30°.Определите показатель преломления стекла, если отражённый луч является плоскополяризованным.
23
|
iB |
n |
|
α |
α |
|
|
|
Дано: |
Решение: |
|
α = 300 |
Закон Брюстера: |
|
n −? |
|
tgiB = n21 = n; |
где iB - угол Брюстера;
n21 – показатель преломления второй среды относительно первой.
По закону Брюстера: отражённый и преломленные лучи взаимно перпендикулярны, следовательно:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
iB |
= |
π |
− α ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
Вычислим n: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
π |
−α |
|
π |
− |
π |
|
π |
|
=1,73. |
|
|
|
||
n = tg |
2 |
|
= tg |
2 |
6 |
|
= tg |
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 1,73.
Пример №8. Определите, под каким углом к горизонту должно находиться Солнце, чтобы лучи, отражённые от поверхности озера (n = 1,33) были максимально поляризованы.
Дано: |
Решение: |
n =1,33 |
По закону Брюстера: |
|
tgiB = n21 = n; |
α −? |
|
|
|
где iB -угол падения преломленного луча(угол Брюстера);
n21 – показатель преломления второй среды относительно первой. iB = arctg(n)= arctg(1,33) =530 ,
α = π2 −iB = 900 −530 = 370.
Ответ: 37°.
Пример №9. Предельный угол полного отражения для пучка света на границе кристалла каменной соли с воздухом равен 40,5°.Определите угол Брюстера при падении света из воздуха на поверхность этого кристалла.
Дано: Решение: iпр = 40,50
Используем закон преломления света:
iB −?
24
sin iпр |
|
= |
n |
|||
|
|
|
1 |
. |
||
π |
|
n |
2 |
|||
|
|
|||||
sin |
|
|
|
|
||
2 |
|
|
|
|
|
Перепишем формулу с учётом |
|
π |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
||||||||
sin |
|
=1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
= |
|
1 |
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
sin i |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
пр |
|
|
|||
По закону Брюстера: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n2 |
= tgiB , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где iB -угол Брюстера. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приравниваем и получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
tgiB = |
|
|
|
|
iB |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= arctg |
|
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
siniпр |
|
|
|
siniпр |
|||||||
Произведём вычисления: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
= arctg(1,54)= 57°. |
|
|
||||||||
iB = arctg |
|
|
= arctg |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
0,65 |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
sin 40,5° |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 57°.
Пример №10. Параллельный пучок света падает нормально на пластинку из исландского шпата толщиной 50 мкм, вырезанную параллельно оптической оси. Принимая показатели преломления исландского шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно n0 =1,66 и ne =1,49 , определите разность хода этих лучей, прошедших через пластинку.
O
Io
Ie
d
O'
d-толщина пластины, Iо –обычная интенсивность света, O O΄-оптическая ось, I-естественная интенсивность света.
25
Дано: |
Решение: |
||
d = 50мкм = 5 10−5 м |
По определению геометрическая разность хода: |
||
n0 |
=1,66 |
d n . |
|
ne |
=1,49 |
Оптическая разность хода длявырезанной пластинки параллельно |
|
оптической оси: |
|||
|
|
||
|
−? |
= dn0 −dne = d(n0 − ne ). |
no −показатель преломления обычного света;
ne −показатель преломления естественного света; Произведём вычисления:
=5 10−5 (1,66−1,49)=8,5 10−6 м=8,5мкм
Ответ: 8,5 мкм.
Пример №11. Плоскополяризованный свет, длина волны которого в вакууме λ = 589нм, падает на пластинку исландского шпата перпендикулярно его оптической оси. Принимая показатели преломления исландского шпата для обыкновенного и необыкновенного лучей соответственно n0 =1,66 и ne =1,49 , определите длины волн этих лучей в кристалле.
Дано: |
Решение: |
|||
λ = 589нм = 5,89 10−7 м |
|
|
λ = cT . |
|
n0 |
=1,66 |
Для обыкновенного луча: |
||
|
|
λ0 =υ0T , |
||
ne |
=1,49 |
|
|
|
|
c |
|
||
|
|
где υ0 = |
. |
|
|
λ0 −? |
|||
|
|
|||
|
λe −? |
|
n0 |
|
|
Для необыкновенного луча: |
|||
|
|
|
|
λe =υeT , |
где υe = c . ne
Выразим T:
T = λc ,
тогда T = λ0 . c0
T= λ0 = λ0 n0 ;
υ0 c
Выразим λ:
|
cλ |
n |
0 |
|
|
λ |
|
|
5,89 10−7 |
||||
λ = |
0 |
|
= λ0 n0 λ0 = |
|
|
= |
|
|
|
|
= 355нм; |
||
c |
|
|
n0 |
1,66 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
λ |
|
|
|
5,89 10 |
−7 |
||
Аналогично найдём λe = |
|
|
|
= |
|
|
|
|
= 395нм |
||||
|
ne |
|
1,49 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 355 нм; 395 нм.
26