Тренинг по модулю «Криволинейные и поверхностные интегралы»

Вопросы теории (криволинейный интеграл первого рода)

1.Криволинейный интеграл по длине дуги записывается в виде

1.∫ f (x, y)dA+

L

2. ∫ P(x, y)dx

AB

3. ∫ P(x, y)dx +Q(x,y)dy

AB

4. ∫ f (x, y)dA+

AB

5. ∫Q(x, y)dy

AB

2. Какое из свойств криволинейного интеграла 1го рода верно? 1. ∫сf (x, y)dA = ∫ f (сx,сy)dA, с=соnst

2. ∫сf (x, y)dA = c ∫ f (x, y)dA+

3. ∫сf (x, y)dA = ∫ f (сx, y)dA

4. ∫сf (x, y)dA = ∫ f (x,сy)dA

3.Криволинейный интеграл по пространственной кривой, заданной параметрические, вычисляется по формуле….

β

1 ∫ f (x, y)dA = ∫ f (x(t), y(t)) (xt1 )2 + ( yt1 )2 dt

AB α

B

3. ∫ f (x, y, z)dA = ∫ f (x(t), y(t), z(t)) (xt1 )2 + ( yt1 )2 + (zt1 ) dt +

B

4. ∫ f (x, y, z)dA = ∫ f (x(t), y(t), z(t))dt

5.

xt1 + yt1 + zt1 dt

41

4. Криволинейный интеграл 1го рода от функции трех переменных f (x, y, z) записывается в виде…

Вычисление криволинейного интеграла первого рода

1.Вычислить ∫(x − y)dl где К- отрезок прямой от А(0,0) до В (4,3)

K

1.54 ;

2.156 ;

3.325 ;

4.5;

5.5/2

4 . b2 a2 + b2 ; 2

5.a2 ; 2

42

3. Вычислить ∫(x + y)dA, где L - лепесток лемнискаты, r= sin 2ϕ , расположенный в

L

первом координатном углу.

1.0;

2.-3;

3.12 ;

4.2;

5.4;

4. Вычислить ∫ xy 2 dl где L- отрезок прямой между точками О(0,0) и А(4,3)

L

Вопросы теории (криволинейный интеграл второго рода)

1.Криволинейный интеграл по координате у (или второго рода) обозначается…

3. ∫ Р(х, у)dx +Q(x,y)dy

АВ

2.Криволинейный интеграл 2 рода общего вида по явно заданной кривой АВ имеет вид

1.b∫ [P( x,ϕ( x )) + Q( x,ϕ( x ))ϕ ′ ( x )]dx

a

2.∫в (P(x(t), y(t))x1 (t) + Q(x(t), y(t)) y(t))dt

а

3. ∫(P cosα + Q cos β )dA

AB

β

4. ∫ P(x,ϕ (x))dx

α

43

3. Криволинейный интеграл 2 рода общего вида обозначается…

4.Формула Остроградского-Грина имеет вид…

1.∫∫ f (x, y)dA = ∫ Pdx + Qdy

ДAB

2.∫∫ f (x, y)ds = ∫Pdx+ Qdy

Дλ

3.∫ Р(х, у)dx +Q(x,y)dy= ∫ Р(х, у)dx +Q(x,y)dy

от точки А(1,0,2) до точки В (3,1,4).

1.3

2.28

3.95/3

4.14/3

5.13

3

(1.1)

2. Найти I = ∫ ydx + xdy

(0.0)

1.0

2.-1

3.1

4.2

5.3

44

3. Найти работу силы F = 4x6 i + x y j вдоль кривой y = x3 от точки О(0,0) до точки

В(1,1)

1.1

2.2

3.3

4.4

5.5

4. Найти площадь фигуры ограниченной астроидой х=а cos3 t, y=a sin3 t.

1.а2π

8

8 а 2

Вопросы теории (поверхностный интеграл)

1. Площадь поверхности вычисляется с помощью поверхностного интеграла по формуле…

1. S = ∫∫ f ( x( y,z ),y,z )ds

D

45

46

Вычисление поверхностного интеграла

1. Вычислить J = ∫∫(x − 3y + 2z)ds, где S-часть плоскости 4х+3у+2z-4=0,

S

расположенной в 1 октанте .

1.9

2. 29

3. 29 3

4. 29 9

5.29

9

2. Вычислить J = ∫∫x( y + z)ds , где S- часть цилиндрической поверхности

S

x = 1 − y 2 ,отсеченной плоскостями z = 0 , z = 2

1.1

2.2

3.3

4.4

5.5.

3. Вычислить ∫∫− xdydz + zdzdx + 5dxdy

S

1.1

2.3

3.-5

4.8

5.-9

4.Вычислить ∫∫− xdydz + zdzdx + 5dxdy, где S –внешняя сторона пирамиды, ограниченной

S

плоскостями 2х-3у+z=6, х=0, у=0, z=0.

Уважаемые студенты, если вы испытываете затруднения при выполнении тренинговых заданий, обращайтесь, пожалуйста, на образовательный портал, задавая вопросы на форуме или в часы индивидуальных консультаций.

47