Модуль 9. Дифференциальные уравнения

Понятие модуля

Обозначение, формула

Дифференциальное уравнение

F (x, y, y') = 0

первого порядка

Дифференциальное уравнение

F( x, y, y' , y'' ) = 0

второго порядка

Основные учебные элементы модуля

Учебные

Название

обозначение

элементы

формула

Уч. элемент № 1

ДУ первого порядка с разделяющимися

См опорную

переменными

схему

Уч. элемент № 2

Однородное ДУ первого порядка

См опорную

схему

Уч. элемент № 3

ДУ первого порядка в полных дифференциалах

См опорную

схему

Уч. элемент № 4

Линейное ДУ первого порядка

См опорную

схему

Уч. элемент № 5

Уравнение Бернулли

См опорную

схему

Уч. элемент № 6

Уравнения ΙΙ порядка, допускающие понижение

См опорную

порядка

схему

Уч. элемент № 7

Однородное линейное уравнение ΙΙ порядка

См опорную

схему

Уч. элемент № 8

Неоднородное линейное уравнение ІІ порядка

См опорную

схему

Уч. элемент № 9

Метод Эйлера для решения неоднородное

См опорную

линейное уравнение ІІ порядка

схему

Уч. элемент № 10

Метод неопределенных коэффициентов для

См опорную

решения неоднородное линейное уравнение ІІ

схему

порядка

Требования к знаниям и умениям

уровень

название

Учебные элементы

уровень №1

узнавание

уч.эл. №1-10

уровень №2

понимание

уч.эл. №

1,2,4,6,7

уровень №3

решение типичных задач

уч.эл. №

1-10

уровень №4

решение нестандартных

задач

Тип

уравнен

ия

Стандартная форма записи

Особенности

Метод решения

разделяющимисяС переменными

y' = f1( x ) f2 ( y )

функций, зависящих одна

∫

f2( y ) =

∫ f1( x )dx + c

ϕ1( x )ϕ 2 ( y )dx + +ϕ1

( x )ϕ 2 ( y )dy =

При дифференциалах –

∫ ϕ1( x ) dx + ϕ2 ( y ) dy

произведения функций, зависящих

ϕ1( x

ϕ2 ( y )

одна от x, другая – от y

Правая часть – произведение

dy

от x, другая – от y

Однородное

y

Правая часть – однородная

y

y' = f

P( x, y ),Q( x, y ) - однородные

= u( x )

y' = u' x + u

P( x, y ) dx + +Q( x, y ) dy = 0

y = u x,

x

функция нулевого порядка

x

функции одинакового порядка

полныхВ

дифференци

алах

∂y

∂x

∫

P(x, y)dx + ∫ Q(x0

, y)dy = C

X

Y

P( x, y ) dx + +Q( x, y ) dy = 0

∂P ≡ ∂Q

∫ P(x, y0 )dx +

∫ Q(x, y)dy = C

X

X

Y

Y0

X

Y0

y'+ P( x )y = Q( x )

Первой степени относительно

y = u( x ) v( x ),

y

и

y x '

y' = u' v + u v'

Линейное

x' = u' v + u v′

x'+ P( y )x = Q( y )

Первой степени относительно

x

= u( y ) v( y ),

x и x y '

Бернулли

y'+ P( x ) y = Q( x )

yn

Отличается от линейного

Аналогично

правой частью

линейным

c1' (x) y1 + c2' (x) y2 = 0,

c ' (x) y'+c

' (x) y

' = f (x)..

1

2

2

Правая часть

Основной

Сравнение параметра с

Конструкция

N

параметр

корнями характеристического

частного решения

уравнения f (x)

α ± βi

уравнения

у*

α = β = 0

0 не является корнем

B

1

А

0 однократный корень

Bx

α ± β i = 0

0 двукратный корень

Bx2

0 не является корнем

M n (x)

α = β = 0

2

Pn (x)

0 однократный корень

M n (x) x

α ± β i = 0

0 двукратный корень

M n (x) x 2

β = 0

α не является корнем

Beαx

3

Aeαx

α однократный корень

Beαx x

α ± β i

= α

α двукратный корень

Beαx x2

α не является корнем

M n (x)eαx

4

Pn (x)eαx

α однократный корень

M n (x)eαx x

β = 0

= α

α двукратный корень

M n (x)eαx x 2

α ± β i

5

A cos βx +

α = 0;

± β i

не являются корнями

C cos βx + D sin βx

+ B sin βx

β ≠ 0

± β i

- корни

(C cos βx + D sin βx)x

Pk (x)cos βx +

± β i

не являются корнями

M n (x)cos βx + Nn (x)sin βx

6

α = 0;

n = max{k;m}

+ Qm (x)sin βx

β ≠ 0

± β i

- корни

( M n

(x)cos βx +

+ Nn

(x)sin βx )x

( Acos βx +

α ± β i

не являются

αx

7

α ± β

i

корнями

(C cos βx + D sin βx)e

+ B sin βx )eαx

α ± β i

- корни

C cos βx

+

D sin βx eαx x

(

)

( Pk (x)cos βx +

α ± β i

не являются

( M n cos βx +

8

α ± β

i

корнями

+ N n sin βx )eαx

+ Qm (x)sin βx )eαx

α ± β i

- корни

(M n cos βx + N n sin βx)eαx x

Неделя

теоретический материал

обучения

аудиторные занятия

самостоятельная работа

1

Основные понятия ДУ первого

Уравнения с разделяющими

порядка.

переменными .Однородные ДУ

2

Линейные неоднородные ДУ

Уравнения Бернулли

3

Основные понятия ДУ высших

ДУ второго порядка,

порядков

допускающие понижение порядка

Однородные и неоднородные

Линейные неоднородные

4

линейные ДУ второго порядка с

дифференциальные уравнения с

постоянными коэффициентами.

произвольными коэффициентами.

Линейные неоднородные ДУ

5

второго порядка с особой правой

Элементы численных методов

частью

Таблица 2

Неделя

Практические занятия

обучения

аудиторные занятия

аудиторные занятия

Уравнения, приводящиеся к

ДУ с разделяющими

1

переменными.

однородным.

Однородные ДУ

Уравнения Бернулли.

2

Линейные неоднородные ДУ

Геометрическая интерпретация

3

ДУ второго порядка,

допускающие понижение порядка

решений ДУ первого порядка.

4

Линейные неоднородные ДУ

Линейные однородные ДУ второго

второго порядка с постоянными

порядка с постоянными коэффициентами.

коэффициентами.

Линейные неоднородные ДУ

5

второго порядка с особой правой

Элементы численных методов

частью

Неделя обучения

ИДЗ

1 неделя

с 1 по 8 задание

2 неделя

11-15 9,10, 16 задание

3неделя

17-20 задание

4 неделя

21-26 задание

5 неделя

27-30 задание