Модуль 10. Кратные интегралы
Алгоритм самостоятельной работы
При изучении модуля «Кратные интегралы» студент должен самостоятельно выполнить следующие действия:
•ознакомиться с языком дисциплины
•ознакомиться с основными вопросами и учебными элементами модуля
•ознакомиться с перечнем умений по данному модулю
•выполнить предложенный вариант домашнего задания
•выполнить тест-тренинг
Основные понятия модуля
|
Понятие модуля |
|
|
Обозначение, формула |
|
|
||
|
|
|
|
∫∫ f (x, y)dxdy |
|
|
||
|
Двойной интеграл |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
∫∫∫ f (x, y,z)dxdydz |
|
|||
|
Тройной интеграл |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Основные учебные элементы модуля |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
Учебные элементы |
|
Название |
|
|
|
обозначение |
||
|
|
|
|
|
|
|
формула |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уч. элемент № 1 |
|
Область интегрирования |
|
D, V |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Уч. элемент № 2 |
|
Вычисление двойных интегралов в декартовых |
|
См. опорную |
||||
|
|
координатах |
|
|
|
схему |
||
|
|
|
|
|
|
|||
Уч. элемент № 3 |
|
Вычисление двойных интегралов в полярных |
|
См. опорную |
||||
|
|
координатах |
|
|
|
схему |
||
Уч. элемент № 4 |
|
|
Масса плоской пластинки |
|
См. опорную |
|||
|
|
|
|
переменной плотности. |
|
схему |
||
|
|
|
|
|
|
|||
Уч. элемент № 5 |
|
|
центр тяжести пластинки. |
|
См. опорную |
|||
|
|
|
Приложение |
|
|
|
схему |
|
Уч. элемент № 6 |
|
Моменты инерции пластинки |
|
См. опорную |
||||
двойного |
|
|||||||
|
|
|
|
|
схему |
|||
|
|
интеграла |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
Уч. элемент № 7 |
Вычисление площадей |
|
См. опорную |
|||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
схему |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уч. элемент № 8 |
|
|
Вычисление объёмов |
|
См. опорную |
|||
|
|
|
|
|
|
|
схему |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Уч. элемент № 9 |
|
Вычисление |
тройного интеграла в декартовых |
|
См. опорную |
|||
|
|
координатах |
|
|
|
схему |
||
Уч. элемент № 10 |
|
Вычисления тройного интеграла в |
|
См. опорную |
||||
|
|
цилиндрических координатах |
|
схему |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
Уч. элемент № 11 |
|
Вычисление тройного интеграла в сферических |
|
См. опорную |
||||
|
|
координатах |
|
|
|
схему |
||
|
|
|
|
|
|
|||
Уч. элемент № 12 |
|
Приложение |
Центр тяжести тела |
|
См. опорную |
|||
22
|
|
|
|
|
|
|
схему |
|
Уч. элемент № 13 |
|
|
|
Масса тела |
См. опорную |
|||
|
|
|
|
|
|
|
схему |
|
Уч. элемент № 14 |
|
тройного |
|
Момент инерции тела |
См. опорную |
|||
|
|
|
интеграла |
|
относительно осей координат |
схему |
||
Уч. элемент № 15 |
|
|
Момент инерции тела |
См. опорную |
||||
|
|
|
|
|
относительно начала координат |
схему |
||
Уч. элемент № 16 |
|
|
|
Объем тела |
См. опорную |
|||
|
|
|
|
|
|
|
схему |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Требования к знаниям и умениям |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||
уровень |
|
название |
|
Учебные элементы |
|
|
||
уровень №1 |
|
узнавание |
|
уч.эл. №1-16 |
|
|
||
уровень №2 |
|
понимание |
|
уч.эл. № 1-3,9-11 |
|
|
||
уровень №3 |
|
Решение типичных задач |
уч.эл. № 4-8, 12-16 |
|
|
|||
уровень №4 |
|
творчество |
|
|
|
|
||
Опорная схема
1. Двойной интеграл
Вычисление двойного интеграла по области D:
|
b |
y2 |
(x ) |
(x, y)dy , где a ≤ x ≤ b , y1 (x) ≤ y ≤ y2 (x) |
∫∫ f (x, y)dxdy = ∫ dx |
∫ f |
|||
D |
a |
y1 |
(x ) |
|
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах:
∫∫ f (x, y)dxdy = ϕ∫2dϕ r∫2 |
f (r cosϕ ,r sinϕ )rdr , |
||
D |
ϕ1 |
r1 |
|
где x = r cosϕ , |
y = r sinϕ , x2 + y 2 = r 2 cos2 ϕ + r 2 sin2 ϕ = r 2 |
||
2. Приложение двойного интеграла
Масса плоской пластинки с поверхностной плотностью μ = μ (x, y)
m = ∫∫ μ (x, y)dxdy .
D
Координаты центра тяжести |
|
||||
xc = |
∫∫ xμ (x, y)dxdy |
; yc = |
∫∫ yμ (x, y)dxdy |
|
|
D |
D |
, |
|||
∫∫μ (x, y)dxdy |
∫∫μ (x, y)dxdy |
||||
|
|
|
|||
|
D |
|
D |
|
|
где ∫∫ xμ (x, y)dxdy - статический момент пластинки относительно оси OY; ∫∫ yμ (x, y)dxdy -
D D
статический момент пластинки относительно оси OX.
Координаты центра тяжести однородных пластинок xc и yc
23
xc = |
∫∫ xdxdy |
, yc = |
∫∫ ydxdy |
|
|
D |
D |
, |
|||
∫∫dxdy |
∫∫dxdy |
||||
|
|
|
|||
|
D |
|
D |
|
где ∫∫dxdy - площадь области D.
D
Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f (x, y), а снизу -
областью D
V = ∫∫ f (x, y)dxdy.
D
Площадь фигуры ограниченной областью D:
S = ∫∫ dxdy
D
3. Тройной интеграл
Вычисление тройного интеграла по области V:
∫∫∫ |
f (x, y,z)dxdydz = ∫∫ dxdyz∫2 |
f (x, y,z)dz , где D –проекция области V на плоскость xoy , а |
|
V |
D |
z1 |
|
z = z1 |
(x, y); z2 (x, y)- уравнения поверхностей, ограничивающих область сверху и снизу. |
||
Вычисление тройного интеграла в декартовых координатах
|
b |
y2 |
( ) |
z2 |
(x ,y ) |
(x, y,z)dz , где |
∫∫∫ f (x, y,z)dxdydz = ∫ dx |
∫ dy |
|
∫ f |
|||
V |
a |
y1 |
(x) |
z1(x ,y ) |
|
|
a < x < b
V : y1 (x) < y < y2 (x)
z1 (x, y) < z < z2 (x, y)
Вычисления тройного интеграла в цилиндрических координатах
|
|
x = r cosϕ |
|
∫∫∫ f ( x, y,z )dx dy dz = ∫∫∫ f ( r cosϕ ,r sinϕ ,z )r dr dϕ dz , где y = r sinϕ |
|||
V |
V |
|
|
z = z |
|||
|
|
||
Вычисление тройного интеграла в сферических координатах
∫∫∫ f ( x, y,z )dxdydz= ∫∫∫ f (r cosϕ sinθ ,r sinϕ sinθ ,r cosθ )r2 sinθdrdϕdθ , где
V V
x = r cosϕ sinθy = r sinϕ sinθz = r cosϕ
Приложение тройного интеграла Центр тяжести тела
24
x = |
∫∫∫ xdxdydz |
|
y = |
∫∫∫ ydxdydz |
|
z = |
∫∫∫ zdxdydz |
|
|||
V |
|
, |
V |
|
, |
V |
. |
||||
|
|
||||||||||
∫∫∫dxdydz |
∫∫∫dxdydz |
∫∫∫dxdydz |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
V |
|
|
V |
|
|
V |
|
|||
Масса тела
m = ∫∫∫ ρ (x, y,z)dxdydz , где ρ = ρ (x, y,z)- плотность
V
Момент инерции тела относительно осей координат |
||
Iox = ∫∫∫ (y 2 |
+ z 2 )dxdydz , Ioy = ∫∫∫ (x2 + z 2 )dxdydz , |
Ioz = ∫∫∫ (y 2 + x2 )dxdydz |
V |
V |
V |
Момент инерции тела относительно начала координат |
||
Io = ∫∫∫ (x2 |
+ y 2 + z 2 )dxdydz |
|
V |
|
|
Объем тела
V = ∫∫∫ dxdydz
V
Вданном модуле студент должен изучить теоретический материал по предложенным учебным элементам. (см. Теоретический материал по высшей математике: учебнометодический материал для студента. Часть III. Сост.: Ахметжанова Г.В. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Емельянова С.Г. - Тольятти: ТГУ, 2007 и доп. литературу)
Втаблице 4 представлен график изучения теоретического материала по модулю «Кратные интегралы»
|
|
Таблица 4 |
|
Неделя |
теоретический материал |
|
|
|
|
|
|
обучения |
аудиторные занятия |
самостоятельная работа |
|
|
|
|
|
7 неделя |
Понятие двойного интеграла и их |
Задачи, проводящие к |
|
свойства. |
понятию двойного интеграла. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
8 неделя |
Двойной интеграл в полярной |
Приложение двойных и |
|
интегралов к решениям задач |
|
||
системе координат. |
|
||
|
геометрии, физики, механики |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 неделя |
Тройной интеграл |
Приложение тройных |
|
Основные понятия |
интегралов к решениям задач |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
10 неделя |
Тройные интегралы в |
Тройные интегралы |
|
цилиндрической системе координат |
сферической системе координат |
|
|
|
|
|
|
По всем вопросам обращаться к академическому консультанту, задавая вопросы на форуме образовательного портала.
Также студент должен ознакомиться с типовыми задачами и упражнения по модулю, чтобы выполнить свой вариант ИДЗ (см. Руководство к решению задач: учебно-методическое пособие
25
для студентов Часть III. Сост.: Ахметжанова Г.В. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Емельянова С.Г., - Тольятти: ТГУ, 2007.)
В таблице 5 представлен график изучения практического материала по модулю «Кратные интегралы»
Неделя |
Практические занятия |
|
|
обучения |
аудиторные занятия |
|
|
|
Вычисление двойных |
7 неделя |
интегралов по прямоугольной |
|
области |
|
|
8 неделя |
Вычисление двойных |
интегралов в полярных |
|
|
координатах. |
|
|
|
Вычисление тройных |
9 неделя |
интегралов по прямоугольной |
|
области |
|
|
|
Вычисление тройных |
10 неделя |
интегралов в цилиндрической |
|
системе координат |
|
|
Таблица 5
самостоятельная работа
Вычисление двойных интегралов по произвольной области
Решение задач на приложение двойных интегралов к решениям задач геометрии, физики, механики
Решение задач на приложение тройных интегралов к решениям задач геометрии, физики, механики.
Вычисление тройных интегралов в цилиндрической системе координат
По всем вопросам обращаться к академическому консультанту, задавая вопросы на форуме образовательного портала или в часы индивидуальных консультаций (график индивидуальных консультаций представлен на образовательном портале).
Студент должен выполнить свой вариант домашнего задания (см. Индивидуальные домашние задания для студентов, обучающихся по технологии 30/70. Часть III. Сост.: Ахметжанова Г.В. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Емельянова С.Г., - Тольятти: ТГУ, 2007).
График выполнения представлен ИДЗ в таблице 6. Таблица 6
Неделя обучения |
ИДЗ |
|
7 неделя |
с 1 по 2 задание |
|
|
|
|
8 неделя |
3 |
4,5, задание |
|
|
|
9 неделя |
6 |
,10задание |
|
|
|
10 неделя |
8,9 задание |
|
|
|
|
По окончании десятой недели сдать ИДЗ академическому консультанту и получить на образовательном портале допуск к тестированию.
На одиннадцатой неделе обучения студенты проходят тестирование по модулю, которое выставлено в расписание.
26