ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТОЛЬЯТТИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика и математическое моделирование»

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ СТУДЕНТОВ

Высшая математика часть III

Тольятти 2007

УДК 51(075.8) ББК 22.1я.73 В 93

Научный редактор д.т.н., профессор П.Ф.Зибров

В-93 Высшая математика. Часть III: Учебно-методическое пособие для студентов. Сост.: Ахметжанова Г.В. Калукова О.М., Кошелева Н.Н., Никитина М.Г., Павлова Е.С., Емельянова С.Г., - Тольятти: ТГУ, 2007.- стр. 49.

Учебно-методическое пособие соответствует курсу «Высшая математика». В данном пособии представлены модули: Дифференциальные уравнения, Кратные интегралы, Криволинейные и поверхностные интегралы. Даны основные понятия и вопросы каждого модуля, так же рассмотрены типовые задачи и упражнения, после каждого модуля предоставлены тесты для проверки остаточных знаний студентов. Рекомендовано студентам нематематических специальностей, обучающихся по технологии 30/70.

Утверждено научно-методическим советом факультета математики и информатики Тольяттинского государственного университета.

УДК 51(075.8) ББК 22.1я173

♥ Тольяттинский Государственный Университет

2

3

Введение

Целью изучения дисциплины «Высшая математика» является обучение основным математическим методам, необходимым для анализа и моделирования устройств, процессов и явлений при поиске оптимальных решений, выбору рациональных способов реализации этих решений методом обработки и анализа результатов численных и натуральных экспериментов.

Знания математики необходимы для успешного усвоения общетеоретических и специальных дисциплин в области техники, информационных технологий.

Основные задачи дисциплины состоят в том, чтобы:

•продемонстрировать студентам на примерах математических понятий и методов действие законов диалектики, сущность научного подхода, специфику математики и её роль в развитии;

•развивать у студентов умение самостоятельно расширять и углублять математические знания.

•усилить прикладную направленность курса для изучения специальных дисциплин учебного плана;

•использовать математические методы для решения самых разнообразных задач техники, планирования и прогнозирования, анализа инженерной деятельности.

Математическое образование современного специалиста включает:

•базовую подготовку, состоящую из общего курса математики и специальных математических курсов.

•общий курс формирует у студентов умение исследовать математические модели и решать задачи, обрабатывать и анализировать экспериментальные данные;

•математические методы ориентированы на построение математических моделей, реализуемых на ЭВМ, проведение численных экспериментов, построение оптимальных решений.

После освоения математической программы студент должен знать:

•основные математические понятия такие как, функция, предел, производная, интеграл, дифференциальные уравнения, ряды и методы для решения инженерных задач такие как", дифференцирование, интегрирование, представление функций с помощью рядов,

уметь:

•правильно задавать цель тому или иному процессу, определять условия и ограничения в достижении цели, выбирать критерии оптимальности, проводить натурные эксперименты, формулировать задания, проигрывать на моделях возможные ситуации и получать оптимальные решения с помощью математических методов.

Цель пособия – помочь студенту научиться с наименьшей затратой времени овладеть теоретическим материалом и научиться решать задачи по модулям.

4

Структура дисциплины

III семестр

Модуль 9 Дифференциальные уравнения

Обыкновенные дифференциальные уравнения. Основные определения. Свойства общего решения. Теорема Коши. Интегральные кривые. Особое решение.

Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения вида у’ = f(х).

Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения. Уравнения, приводящиеся к однородным.

Линейные уравнения. Линейные однородные дифференциальные уравнения.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод Бернулли. Метод Лагранжа. Уравнение Бернулли.

Уравнения в полных дифференциалах. Условие тотальности. Уравнения вида у = f(y’) и x = f(y’). Уравнения Лагранжа и Клеро.

Геометрическая интерпретация решений дифференциального уравнения первого порядка. Поле направлений. Изоклины.

Численные методы решения дифференциальных уравнений. Метод Эйлера. Ломаная Эйлера. Уточненный метод Эйлера. Метод Рунге – Кутта.

Дифференциальные уравнения высших порядков. Уравнения, допускающие понижение порядка. Уравнения вида y(n) = f(x). Уравнения, не содержащие явно искомой функции и ее производных до порядка n-1 включительно. Уравнения, не содержащие явно независимой переменной.

Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Структура общего решения. Фундаментальна система решений. Определитель Вронского. Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка.

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Характеристический многочлен и характеристическое уравнение.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.

Нормальные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Нормальные системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Модуль 10. Кратные интегралы

Задачи, проводящие к понятию двойного интеграла. Двойной интеграл: определение, формулировка теоремы существования, геометрический смысл. Свойства двойного интеграла. Вычисление двойных интегралов. Понятие о замене переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах. Приложение двойных интегралов к решениям задач геометрии, физики, механики. Тройной интеграл: определение, формулировка теоремы существования. Свойства тройных интегралов.Замена переменных в тройных интегралах. Тройные интегралы в цилиндрической и сферической системах координатам. Приложение тройных интегралов к решениям задач геометрии, физики, механики.

5

Рейтинг и оценка уровня знаний студентов по дисциплине «Высшая математика»

1. Проставление оценки

За временную единицу учебного процесса принимается семестр.

Рейтинг студента по дисциплине в семестре в любой отчетный момент времени равен сумме баллов, набранных в процессе текущего контроля, а на завершающем этапе – полной сумме баллов, рейтинг хранится в центре тестирования и вывешивается на сайте.

Оценка, проставляемая в зачетную или экзаменационную ведомость, определяется отношением суммы баллов набранной по всем тестам (итоговый рейтинг) к количеству модулей.

Максимальное количество баллов, которое может набрать студент при тестировании по одному модулю, в том числе и по итоговому тестированию, равно 100 (сто) баллов.

Максимальный рейтинг студента по дисциплине определяется произведением количества модулей на сто.

Оценка в ведомость ставится, исходя из таблицы:

2. Допуск к тестированию и процедура тестирования

Допуск к тестированию студента разрешается в том случае, если он выполнил индивидуальное домашнее задание. Выставляет академический консультант на образовательном портале за день до тестирования.

Студент, не допущенный к тестированию по какому-либо модулю, автоматически получает «О» баллов в свой рейтинг за соответствующее по модулю тестирование, но продолжает изучение дисциплины по следующим модулям.

Тестирование студентов осуществляется по графику (расписанию) после прохождения каждого модуля дисциплины.

Расписание тестирования составляется диспетчерской службой по сведениям, поступившим от заведующего кафедрой (руководителя ЭП).

Экзаменационные и зачетные ведомости студентов по окончании дисциплины составляются деканатами по сведениям, поступившим из ЦТ.

Ведомости подписываются деканом, а их копии передаются на кафедру (преподавателю) для проставления экзаменационной оценки в зачетную книжку студента в период зачетной недели.

3. Ликвидация задолжности студента по дисциплине

Если оценка студента, полученная в результате накопительного рейтинга, является «неудовлетворительной», то студент направляется на прохождение итогового тестирования. В исключительных случаях, на итоговое тестирование направляется студент для повышения своей оценки с «удовлетворительно» на «хорошо» или «отлично».

7

Академический консультант проставляет допуск на образовательном портале студентам, направленным на итоговое тестирование.

Итоговое тестирование проводится в ЦТ в течение сессии по расписанию. Расписание итогового тестирования составляется единой диспетчерской службой «по схеме расписания экзаменов».

Количество баллов, набранное студентом по итоговому тестированию, суммируется с его рейтингом, а оценка, получаемая студентом по дисциплине, является результатом деления общей суммы баллов на общее количество тестирований (тестирования, пройденных в течение семестра плюс итоговое тестирование). При этом, в общее количество тестирований включаются и те, на которые студент не был допущен.

Студент, получивший хорошие и отличные оценки по рейтингу, включающему итоговое тестирование, имеет право претендовать на получение стипендии, как ликвидировавший задолженности в течение сессии.

Если в результате проведения итогового тестирования общий рейтинг студента, и соответственно его оценка остается неудовлетворительной, то студент имеет право получить дополнительные услуги (платные) по изучению соответствующей дисциплины во внеучебное время. Направление студента на дополнительное обучение, составление списков студентов для проведения дополнительных занятий, является обязанностью деканата. Расписание занятий, обеспечение кадрами и ресурсами для проведения дополнительных занятий производится ИНПО.

После окончания дополнительного обучения студент направляется на итоговое тестирование в ЦТ по списку, составленному преподавателем ИНПО. Количество баллов, полученное за итоговое тестирование, суммируется с рейтингом студента. Оценка за дисциплину рассчитывается как отношение общего рейтинга к общему количеству тестирований, в том числе, к которым он не был допущен.

Сведения о результатах итогового тестирования после дополнительного обучения ЦТ передает в деканат для формирования экзаменационной (зачетной) ведомости и проставления оценки. Если студент получает «неуд» после прохождения дополнительного обучения, то он отчисляется из списков студентов университета. Сведения для приказа об отчислении предоставляет деканат.

8