13. Применение степенных рядов в приближенных вычислениях и решении дифференциальных уравнений. Оценка ошибки. (16.4.4)
6.4.4. Примеры применения степенных рядов в приближенных вычислениях.
1. Вычисление чисел e и .
,Погрешность
rn
нужно записать в форме Лагранжа и
оценить.
x
= 1 
.
Так
как это ряд Лейбница, погрешность
приближения
по абсолютной величине меньше модуля первого отброшенного слагаемого.
2. Вычисление значений функций в точке x с заданной точностью.
Погрешность можно оценить:
1) с помощью формулы Тейлора (модуль остаточного члена в форме Лагранжа).
2) с помощью теоремы Лейбница в случае, когда ряд является рядом Лейбница.
Существуют и другие способы оценки ошибки приближения, например, с помощью известного ряда с более крупными слагаемыми или с помощью сходящегося несобственного интеграла.
3. Приближенное вычисление интегралов.
4. Приближенное решение дифференциальных уравнений.
Теорема. Если коэффициенты и правая часть дифференциального уравнения
y+ p1(x)y+p2(x)y = f(x)
раскладываются в ряды по степеням (x–x0) на некотором интервале, то решения этого уравнения также раскладываются в ряды по степеням (x – x0) на этом же интервале.
Искать
решения в виде степенного ряда можно-
методом
неопределенных коэффициентов в
виде
коэффициенты
определяются после подстановки в
уравнение(как при выводе формулы для
(1+x));
- методом последовательного дифференцирования обеих частей уравнения (решение ищем в виде ряда Тейлора)
14. Скалярное произведение в l2[–, ], норма элемента и расстояние. (16.5.2, 16.5.3)
16.5.2. Пространство L2[–, ]. В линейном пространстве всех действительных функций на отрезке [–, ] есть подпространство, обозначаемое L2[–, ], в котором пар элементов можно ввести скалярное произведение:
L2[–,
]
– эвклидово бесконечномерное пространство.
Мы не будем выяснять, как определяется это пространство, из каких функций оно состоит.
Нам важен следующий известный факт: в нем содержатся все непрерывные функции на [–, ] и все функции с конечным числом разрывов I рода.
Проверим свойства скалярного произведения:
(симметричность),
(линейность),
(положительная
определенность).Замечание. Должно быть:
Договоримся не различать функции, для
которых 
в
частности, функции, отличающиеся в
конечном числе точек.
16.5.3. Норма элемента и расстояние в l2[–, ].
Норма элемента (аналог длины вектора):
Расстояние
между элементами – норма разности:
Все свойства расстояния (метрики) выполняются:
(f, g) 0, (f, f) = 0 f = f (положительная определенность,
(f, g) = (g, f) (симметричность),
h ((f, g) (f, h) + (h, g)) (неравенство треугольника).
15. Тригонометрический базис в l2[–, ]. Ряд Фурье. (16.5.4)
16.5.4. Тригонометрический базис в l2[–, ]. Ряд Фурье.
L2[–, ] бесконечномерно базис из последовательности линейно независимых элементов
1(x), 2(x), 3(x), …, n(x), … , элемента f(x) f = c11 + c22 + c33 + …+ cnn + … .
Здесь c1, c2, c3, … , cn, … R (координаты элемента f ),а ряд сходится к f(x) в смысле метрики пространства L2[–, ]:
Это сходимость в среднем квадратичном Один из базисов в L2[–, ] – тригонометрическая система:1, cos x, sin x, cos 2x, sin 2x, …, cos nx, sin nx, … .
Координаты
функции f(x)
обозначим так:
Разложение
по
базису:
Кратко:
(1)
Определение.
Назовем
функции f(x)
и g(x)
ортогональными,
если
Теорема. Функции тригонометрической системы попарно ортогональны.
Доказательство.
;
(интеграл от нечетной функции),
(аналогично).
Чтобы найти an, умножим скалярно обе части на cos nx (ряд умножается почленно).
Учитывая ортогональность, получим:(f(x), cos nx) = an(cos nx, cos nx) = an||cos nx||2,
(f(x),
sin nx)
= bn(sin
nx,
sin nx)
= bn||sin
nx||2,
(f(x),
1) =
(1,
1) =
||1||2,
Вычислим нормы базисных функций:
(2)
Определение. Ряд (1) с коэффициентами (2) называется рядом Фурье для f(x), сходится к f(x) в среднем квадратичном.
Заметим, что постоянная составляющая a0/2 ряда Фурье есть среднее значение функции f(x) на отрезке [–, ].
Следствие 1. Коэффициенты ряда Фурье определяются однозначно. Функции, различающиеся в конечном числе точек, имеют один ряд Фурье.
Следствие 2.
Ряд
(числовой) сходится
