9. Свойства степенных рядов. (16.4.2)

16.4.2. Свойства степенных рядов.

1. Степенной ряд сходится равномерно на каждом отрезке [a, b] внутри интервала сходимости.

2. Внутри интервала сходимости сумма степенного ряда является непрерывной функцией.

Доказательство. Сумма ряда непрерывна на каждом отрезке [a, b] внутри интервала сходимости (как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций).

 Она непрерывна всюду внутри интервала.

3. Если степенной ряд сходится в граничной точке x=x₀  r интервала сходимости, то сумма полученного числового рядасовпадает с предельным значением суммы изнутри интервала

4. Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать и интегрировать по отрезкам:

радиус сходимости новых рядов такой же.

Замечание. В граничной точке интервала сходимости при интегрировании или дифференцировании ряда сходимость может измениться.

Следствие. Внутри интервала сходимости сумма степенного ряда является бесконечно дифференцируемой функцией, т. е. имеет производные любых порядков.

10. Ряды Тейлора и Маклорена. Условие разложимости функции в ряд Тейлора. (16.4.3)

16.4.3. Ряды Тейлора и Маклорена.

Теорема 1. Частичные суммы степенного ряда являются многочленами Тейлора для s(x).

Доказательство. Найдем производную порядка n:

(*)

т.е. равенствоs(x) = s_n(x) + r_n(x)есть представление функции s(x) с помощью формулы Тейлора,

s_n(x) = P_n^s(x).

Поставим обратную задачу: представить бесконечно дифференцируемую функцию в виде суммы степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда – интервал с центром в точке x₀  уточним задачу:

всегда ли f(x), имеющая производные любых порядков в интервале вида (x₀–, x₀+), >0, представима в этом интервале в виде

Если представима, то по (*)

Определение. Степенной ряд (**)

называется рядом Тейлора для f(x) в окрестности точки x₀ (или рядом Тейлора по степеням (x – x₀)).

Замечание. f(x) может не являться суммой своего ряда Тейлора, даже если этот ряд сходится.

Теорема (условия разложимости функции в ряд Тейлора).

В точке x 

Доказательство. s_n(x) = P_n^s(x) В формуле Тейлора

Определение. В случае x₀ = 0 ряды Тейлора называют рядами Маклорена.

Представление некоторых элементарных функций рядами Маклорена.

Знаем формулы Маклорена  вид рядов определен, надо доказать, что f(x) является суммой.

Теорема.

1.

2.

3.

4.

5.

11. Ряды Маклорена для экспоненты, синуса и косинуса. (16.4.3)

Теорема.

1.

2.

3.

Доказательство. 1. x(–, +) ряд абсолютно сходится (признак Даламбера).

 (необходимый признак):

Для e^x ,

_{Фиксируем x. c множитель e} ^c _{ограничен константой M = max{1, e} ^x_{} } |r_n(x)|



_{2. и 3. Доказательства аналогичны, так как}

_{для sin x}

_{для cos x}

12. Ряды Маклорена для логарифмической и степенной функций. (16.4.3)

4.

5.

4. Для ln(1+x) получить оценку r_n(x) сложно. Поступим по-другому.

(ряд геометрической прогрессии, сходящийся при |x|<1).

После интегрирования ряд стал сходиться в точке x = 1 (ряд Лейбница):

5. Для (1+x)^ получить оценку r_n(x) тоже сложно.

Функция (1+x)^ – решение задачи Коши y(1 + x) = y, y(0) = 1.

Решение  и единственно на (–1, 1).

Найдем решение в виде степенного ряда на (–1, 1):

y(0) = 1  a₀ = 1.

Подставим:

Приравняем коэффициенты в левой и правой частях равенства при одинаковых степенях x.

x0	a1 = a0	
x1	2a2 + a1 = a1	
x2	3a3 + 2a2 = a2	
…	…

Ряд сходится на (–1, 1): по Даламберу

Частные случаи:

а) N  формулы сокращенного умножения: и т. д.

_{б)  = – 1 }ряд геометрической прогрессии, q = –x:

в)  ряд корня степени m из числа (1+x):