4. Признаки Даламбера и Коши. (15.2.2)???

5. Интегральный признак Коши-Маклорена. (15.2.3)

15.2.3. Интегральный признак Коши-Маклорена.

Если f(х) неотрицательна и невозрастает на [m, + ),

то рядсходится сходится несобственный интеграл

(  )

Доказательство.

k  m (k  х  k + 1  ). (интегрируем по [k, k+1])

_{(m = 1)}

_{Сравним ряды:}

_{Средний ряд равен интегралу}

_{(для монотонной функции, интеграла с переменным верхним пределом )}

_{По признаку сравнения 1}

а) сходится сходится,

б) Если сходится интеграл ,

то сходятся и

Пример. Гармонический ряд

Интегральный признак. f(x) монотонно убывает на [1, +),

Интеграл расходится  расходится и гармонический ряд (хотя необходимый признак сходимости для него выполнен).

Пример. Обобщенный гармонический ряд

_{При p  0 не выполняется необходимый признак сходимости, ряд расходится.}

_{При p>0 применим интегральный признак.}

Случай p =1 уже рассмотрен. Пусть p > 0, p  1:f(x) монотонно убывает,

Вывод. Обобщенный гармонический рядсходится приp > 1 и расходится p1.

6. Абсолютная и условная сходимости рядов. (15.3.1)

15.3.1. Абсолютная и условная сходимости рядов.

Определение 1. Ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из модулей

Определение 2. Ряд называется условно или неабсолютно сходящимся, если он сходится, а ряд расходится. Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. По критерию Коши сходится   > 0  n_ n  n_  рN _и по тому же критерию сходится ряд .

Замечание. Произвольные перестановки членов ряда допустимы для абсолютно сходящихся рядов (не меняют их суммы); для условно сходящихся рядов с помощью перестановок можно получить любую желаемую сумму или сделать ряд расходящимся.

В конечном кусочке любого ряда можно делать перестановки.

7. Признак Лейбница. (15.3.2)

15.3.2. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Определение. Ряд вида (*)

где n b_n > 0, называется знакочередующимся.

Определение. Если n  N b_n > b_n+1 и то ряд (*) называется рядом Лейбница.

Теорема (признак Лейбница). Ряд Лейбница всегда сходится. Его сумма s имеет знак первого члена ряда и |s|  b₁.Для остатка ряда Лейбница

имеет место оценка|r_n|  b_n+1.

Доказательство. Пусть т.е. первое слагаемое положительное.

n = 2k С другой стороны,

Возрастающая ограниченная последовательность имеет предел 

n = 2k+1

_{Остаток}– новый ряд Лейбница с первым членом b_п+1

• получаем требуемую оценку.

Замечание. Требование монотонного убывания последовательности (b_n) существенно.

8. Понятие функционального ряда и области сходимости. Степенные ряды; вид области сходимости. (16.2, 16.4.1)

16.2. Понятие функционального ряда. x рассматривается соответствующий числовой ряд.

Сумма функционального ряда определена в тех точках x, в которых соответствующие числовые ряды сходятся:(поточечный предел)

Определение. Множество значений x, при которых числовые ряды сходятся, называется областью сходимости функционального ряда.

16.4.1. Понятие степенного ряда. Вид области сходимости.x₀R.

Ряд всегда сходится в точке x = x₀.

Теорема Абеля. Если ряд сходится в точкеx = x^*, то он абсолютно сходится внутри интервала (–| x^*|, |x^*|).

Доказательство. Пусть x(– x^*, x^*). Тогда

Преобразуем ряд с целью сравнить его с геометрической прогрессией при

Ряд сходится в точке x^*  по необходимому признаку_{ эта последовательность ограничена:} ряд сходится в точке x (по признаку сравнения 1).

Следствие.

1. Областью сходимости степенного ряда

является интервал с центром в точке 0 (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Внутри интервала сходимости ряд сходится абсолютно.

2. Областью сходимости степенного рядаявляется интервал (открытый, полуоткрытый или замкнутый) с центром в точке x₀. Внутри интервала сходимости ряд сходится абсолютно.

r – радиус сходимости.

Замечание 1. Для нахождения интервала сходимости применимы признаки Даламбера и Коши (радикальный), так как сходимость внутри абсолютная.

Замечание 2. В граничных точки интервала сходимости ряд может сходиться или расходиться, необходимо отдельное исследование.