Синтез сети межузловой связи
Нахождение циклов наименьшей длины представляет собой «задачу ком- мивояжера» — задачу поиска маршрута коммивояжера наименьшей длины. Точным решением «задачи коммивояжера» является результат, получен-
ный в результате перебора всех вариантов маршрута.
Маршрутом коммивояжера является гамильтонов контур — контур, вклю- чающий каждую вершину графа ровно один раз.
Для решения задачи коммивояжера можно использовать эвристические алгоритмы. Эвристические алгоритмы являются приближенными. Они стро- ятся с использованием рациональных, с точки зрения логики человека, пра- вил выполнения вычислений.
Сравним эвристические и точные алгоритмы. Достоинства:
эвристических — быстрые, меньше вычислений,
точных — высокая точность результатов.
Недостатки:
эвристических — приблизительная точность,
точных — высокая длительность вычислений.
Рисунок 4.1
– Цикл
1 → 2 → 3 → 7 → 10 → 9 → 8 →
5 → 6 → 4 → 1
Рисунок 4.2 – Цикл
1 → 2 → 4 → 6 → 3 → 7 → 10 →
9 → 8 → 5 → 1
Рисунок 4.3
– Цикл
1 → 4 → 2 → 3 → 6 → 5 → 8 →
9
→
10
→
7
→
1
Рисунок 4.4 – Цикл
1 → 4 → 2 → 3 → 6 → 7 → 10 →
9
→
8
→
5
→
1
Рисунок 4.5
– Цикл
1 → 4 → 2 → 3 → 7 → 6 → 9 →
10 → 8 → 5 → 1
Рисунок 4.6 – Цикл
1 → 4 → 2 → 3 → 7 → 10 → 8 →
9 → 6 → 5 → 1
Рисунок 4.7
– Цикл
1 → 4 → 2 → 3 → 7 → 10 → 9 →
6
→
5
→
8
→
1
Рисунок 4.8 – Цикл
1 → 4 → 2 → 3 → 7 → 10 → 9 →
6
→
8
→
5
→
1
Рисунок 4.9 – Цикл
1 → 4 → 2 → 3 → 7 → 10 → 9 →
8 → 6 → 5 → 1
Рисунок 4.10 – Цикл
1 → 5 → 6 → 4 → 2 → 3 → 7 →
10 → 9 → 8 → 1
Рисунок 4.11
– Цикл
1 → 5 → 8 → 10 → 9 → 6 → 4 →
2 → 3 → 7 → 1
Нахождение кратчайших путей
Для нахождения минимальных расстояний от одной вершины графа до всех остальных применяется алгоритм Дейкстры.
Алгоритм Дейкстры (Dijkstra’s algorithm) — алгоритм на графах, изоб- ретённый нидерландским ученым Э. Дейкстрой в 1959 году. Находит крат- чайшее расстояние от одной из вершин графа до всех остальных. Алгоритм работает только для графов без рёбер отрицательного веса. Алгоритм широко применяется в программировании и технологиях, например, его использует протокол OSPF для устранения кольцевых маршрутов.
В начале алгоритма расстояние для начальной вершины полагается рав- ным нулю, а все остальные расстояния заполняются большим положитель- ным числом (большим максимального возможного пути в графе). Массив флагов заполняется нулями. Затем запускается основной цикл.
На каждом шаге цикла мы ищем вершину с минимальным расстоянием и флагом равным нулю. Затем мы устанавливаем в ней флаг в 1 и проверяем все соседние с ней вершины. Если в ней расстояние больше, чем сумма расстояния до текущей вершины и длины ребра, то уменьшаем его. Цикл завершается когда флаги всех вершин становятся равны 1, либо когда у всех вершин c флагом 0 длина равна значению, б´ольшему максимоально возможного пути в графе. Последний случай возможен тогда и только тогда, когда граф не связан.
109 12
3 4
10 15
3 4
27 30 0 57
2 5 2 5
0 1 6
22
27 1
6
100
10 10
65
7 10
41 109
10 7
82
|
9 |
33 8 |
9 |
33 8 |
|
62 |
75 |
109 |
102 |
1 −→ 4 −→ 2
1 −→ 4
1 −→ 5
1 −→ 4 −→ 6
1 −→ 4 −→ 6 −→ 7
1 −→ 8
1 −→ 4 −→ 6 −→ 9
1 −→ 4 −→ 6 −→ 9 −→ 10
Рисунок 5.1 – Пути из вершины 1
2 −→ 4 −→ 1
2 −→ 3
2 −→ 4
2 −→ 4 −→ 1 −→ 5
2 −→ 3 −→ 6
2 −→ 4 −→ 1 −→ 7
2 −→ 4 −→ 1 −→ 8
2 −→ 4 −→ 1 −→ 8 −→ 10
Рисунок 5.2 – Пути из вершины 2
0 25 25 0
37 35 12 10
|
9 |
33 8 |
9 |
33 8 |
|
67 |
108 |
50 |
83 |
3
−→
2
−→
4
−→
1
3 −→ 2
3 −→ 2 −→ 4
3 −→ 2 −→ 4 −→ 1 −→ 5
3 −→ 2 −→ 4 −→ 6
3 −→ 2 −→ 4 −→ 6 −→ 7
3 −→ 2 −→ 4 −→ 6 −→ 8
3 −→ 2 −→ 4 −→ 6 −→ 7 −→ 10 −→ 9
3 −→ 2 −→ 4 −→ 6 −→ 7 −→ 10
Рисунок 5.3 – Пути из вершины 3
4 −→ 1
4 −→ 2
4 −→ 2 −→ 3
4 −→ 1 −→ 5
4 −→ 6
4 −→ 6 −→ 7
4 −→ 6 −→ 8
4 −→ 6 −→ 9
4 −→ 6 −→ 7 −→ 10
Рисунок 5.4 – Пути из вершины 4
109 42
3 4
90 10
3 4
25 52
57 0 2 5
2 5
30
1
6
52
22 1 6 0
10 10 7
81 71
9 33 8
84 80
10 10 7
29 19
9 33 8
32 36
6 −→ 4 −→ 1
5 −→ 1
5 −→ 1 −→ 4 −→ 2
6 −→ 4
−→ 2
6 −→ 3
5 −→ 1 −→ 4
5 −→ 1 −→ 4 −→ 6
6 −→ 4
6 −→ 4 −→ 1 −→ 5
5 −→ 1 −→ 4 −→ 6 −→ 7
5 −→ 8
6 −→ 7
6 −→ 7 −→ 10 −→ 8
5 −→ 1 −→ 4 −→ 6 −→ 7 −→ 10 −→ 9
5 −→ 1 −→ 4 −→ 6 −→ 7 −→ 10
6 −→ 7
−→ 10 −→ 9
Рисунок 5.5 – Пути из вершины 5
6 −→ 7 −→ 10
Рисунок 5.6 – Пути из вершины 6
54 29 85 60
41 19 72 50
13 17
7 −→ 6 −→ 4 −→ 1
7 −→ 6 −→ 4 −→ 2
7 −→ 6 −→ 4 −→ 2 −→ 3
7 −→ 6 −→ 4
7 −→ 6 −→ 4 −→ 1 −→ 5
7 −→ 6
7 −→ 10 −→ 8
7 −→ 10 −→ 9
7 −→ 10
Рисунок 5.7 – Пути из вершины 7
10 0
8 −→ 10 −→ 7 −→ 1
8 −→ 10 −→ 9 −→ 6 −→ 4 −→ 2
8 −→ 10 −→ 9 −→ 6 −→ 4 −→ 2 −→ 3
8 −→ 10 −→ 9 −→ 6 −→ 4
8 −→ 5
8 −→ 10 −→ 9 −→ 6
8 −→ 10 −→ 7
8 −→ 10 −→ 9
8 −→ 10
Рисунок 5.8 – Пути из вершины 8
75 50 78 53
68 40 65 43
0 10
9 −→ 10 −→ 7 −→ 1
9 −→ 6 −→ 4 −→ 2
9 −→ 6 −→ 4 −→ 2 −→ 3
9 −→ 6 −→ 4
9 −→ 10 −→ 8 −→ 5
9 −→ 6
9 −→ 10 −→ 7
9 −→ 10 −→ 8
9 −→ 10
Рисунок 5.9 – Пути из вершины 9
3 7
10 −→ 7 −→ 1
10 −→ 9 −→ 6 −→ 4 −→ 2
10 −→ 9 −→ 6 −→ 4 −→ 2 −→ 3
10 −→ 9 −→ 6 −→ 4
10 −→ 8 −→ 5
10 −→ 9 −→ 6
10 −→ 7
10 −→ 8
10 −→ 9
Рисунок 5.10 – Пути из вершины 10