25. Д.У первого порядка, классификация ду

Уравнение

F(x, y, y ') = 0,

где  y '= f(x,y) — неизвестная, непрерывно дифференцируема на (a,b) функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Функция y = y(x) называется решением дифференциального уравнения F(x, y, y ') = 0, если она непрерывно дифференцируема на (a,b) и F(x, y(x), y '(x)) ≡ 0 для всех x из (a,b) .

Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия. Чтобы найти частное решение, нужно воспользоваться задачей Коши 

Уравнения с частными производными можно классифицировать по многим признакам.

Классификация уравнений важна потому, что для каждого класса существует своя общая теория и методы решения уравнений.

Можно выделить шесть методов классификации уравнений.

1.Порядок уравнения. Порядком уравнения называется наивысший порядок частных производных, входящих в уравнение.

2.Линейность .Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. 

26. Ур-я с разделяющимися переменными

Уравнение вида , в котором коэффициенты при дифференциалах распадаются на множители, зависящие только оти только от, называетсяуравнением с разделяющимися переменными.

Путем деления на произведение оно приводится к уравнению с разделенными переменными:

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

27.Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка – это уравнения вида 

Как распознать однородное дифференциальное уравнение

Для того, чтобы распознать однородное дифференциальное уравнение, нужно ввести постоянную t и сделать замену y → ty, x → tx. Если, в результате такого преобразования, постоянная t сократится, то это однородное дифференциальное уравнение. Производная y′ при таком преобразовании не меняется: 

28. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка

Определение линейного дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрен способ решения линейных дифференциальных уравнений первого порядка методом интегрирующего множителя. Дан пример подробного решения линейного дифференциального уравнения.

Линейное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида 

Линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида 

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка – это уравнение вида 

Член q(x) называется неоднородной частью уравнения.

29. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Осуществление определенных условий или действий для выявления рассматриваемого события носит название опыта или эксперимента.

Событие называется случайным, если в результате опыта оно может произойти или не произойти.

Событие называется достоверным, если оно обязательно появляется в результате данного опыта, и невозможным, если оно не может появиться в этом опыте.

Например, выпадение снега в Москве 30 ноября является случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием. Выпадение снега на экваторе можно рассматривать как невозможное событие.

Одной из главных задач в теории вероятностей является задача определения количественной меры возможности появления события.

Каждый из равновозможных результатов испытаний (опытов) называется элементарным исходом. Их обычно обозначают буквами . Например, бросается игральная кость. Элементарных исходов всего может быть шесть по числу очков на гранях.

Из элементарных исходов можно составить более сложное событие. Так, событие выпадения четного числа очков определяется тремя исходами: 2, 4, 6.

Количественной мерой возможности появления рассматриваемого события является вероятность.

Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода.

Исход называется благоприятствующим данному событию, если его появление влечет за собой наступление этого события.

В приведенном примере рассматриваемое событие — четное число очков на выпавшей грани, имеет три благоприятствующих исхода. В данном случае известно и общее  количество возможных исходов. Значит, здесь можно использовать классическое определение вероятности события.

Классическое определение. Вероятность события равняется отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу возможных исходов

(1.1)

где — вероятность события,— число благоприятствующих событиюисходов,— общее число возможных исходов.

В рассмотренном примере

Статистическое определение вероятности связано с понятием относительной частоты появления события в опытах.

Относительная частота появления события вычисляется по формуле

(1.2)

где  - число появления события в серии изопытов (испытаний).

Статистическое определение. Вероятностью события называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частотапри неограниченном увеличении числа опытов.

В практических задачах за вероятность события принимается относительная частотапри достаточно большом числе испытаний.

Из данных определений вероятности события видно, что всегда выполняется неравенство

Для определения вероятности события на основе формулы (1.1) часто используются формулы комбинаторики, по которым находится число благоприятствующих исходов и общее число возможных исходов.

Пример. Известно, что в поступившей партии из 30 швейных машинок 10 имеют внутренний дефект. Определить вероятность того, что из партии в 5 наудачу взятых машинок 3 окажутся бездефектными.

Решение. Для решения данной задачи введем обозначения. Пусть — общее число машинок,— число бездефектных машинок,— число отобранных в партию машинок,— число бездефектных машинок в отобранной партии.

Общее число комбинаций по машинок, т.е. общее число возможных исходов будет равно числу сочетаний изэлементов по, т.е.. Но в каждой отобранной комбинации должно содержаться по три бездефектные машинки. Число таких комбинаций равно числу сочетаний изэлементов по, т.е..

С каждой такой комбинацией в отобранной партии оставшиеся дефектные элементы тоже образуют множество комбинаций, число которых равно числу сочетаний из элементов по, т.е..

Это значит, что общее число благоприятствующих исходов определяется произведением . Откуда получаем

Подставим в эту формулу численные значения данного примера