6)Определение смешанных производных

Смешанные частные производные от f по переменным xi и xj (i≠j)

f’’xixj=(f’xi)’xj, i=1,2…n, j=1,2…n.

Число смешанных частных производных – разности n²-n=n(n-1). При этом величина n² определяет общее число всех старших производных и совпадает с числом элементов квадратной матрицы порядка n. Элементы такой матрицы имеют индексы I и j, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с координатными индексами xi, xj, определяющими порядок частной производной.

7)Дифференциал функции несколькоких переменных

Пусть функция z =ƒ (х; у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у). Составим полное приращение функции в точке М:

Функция z = ƒ (х; у) называется дифференцируемой в точке М(х; у), если ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

где а = а(Δх, Δу)→0 и β=β(Δх,Δу)→0 при Δх→0, Δу→0. Сумма первых двух слагаемых в равенстве (44.1) представляет собой главную часть приращения функции.

Главная часть приращение функции z=ƒ(х;у), линейная относительно Δх и Δу, называется полным дифференциалом этой функции и обозначается символом dz:

dz=A*Δx+B*Δy.     (44.2)

Выражения А•Δх и В•Δу называют частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают Δх=dx и Δу=dy. Поэтому равенство (44.2) можно переписать в виде

dz=Adx+Bdy.     (44.3)

 

Теорема 44.2 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = ƒ(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке, имеет в ней частные производные dz/dx и dz/dy, причем dz/dx = А, dz/dy = В.

Так как функция дифференцируема в точке М, то имеет место равенство (44.1). Отсюда вытекает, чтоЭто означает, что функция непрерывна в точке М. Положив Δу = 0, Δх ≠ 0 в равенстве (44.1), получим: Δz = А • Δх + а • Δх. Отсюда находимПереходя

к пределу при Δх → 0, получим

Таким образом, в точке М существует частная производная ƒ'x(х;у) = А. Аналогично доказывается, что в точке М существует частная производная

Равенство (44.1) можно записать в виде

Как следствие теоремы получаем формулу для вычисления полного дифференциала. Формула (44.3) принимает вид:

или

где— частные дифференциалы функции z=ƒ(х;у).

е g=аΔх+βΔу→0 при Δх → 0, Δу → 0.

7)Дифференциал функции нескольких переменных

Дифференциалом dz дифференцируемой в точке M функции z=f(M) называется главная, линейная относительно ∆x и ∆y, часть полно приращения этой функции, т.е. dz= f ^{`</sup><sub>x</sub> (M)∆x + f <sup>`}_y (M)∆y. Если принять приращения аргументов ∆x и ∆y равными их дифференциалам, т.е. ∆x=dx, ∆y=dy, то дифференциал функции можно записать след.образом: dz=f ^{`</sup><sub>x</sub> (M)dx + f <sup>`}_y (M)dy.

Из определения следует, что dz=∆z, т.е. при достаточно малых ∆x и ∆y полное приращение функции приближенно равно ее дифференциалу.

8)Экстремум функции нескольких переменных

Функция z= f(x,y) имеет максимум и минимум в точке M_o(x_o,y_o), если для любой точки M(x,y), находящейся в некоторой ρ-окрестности точки M_o(x_o,y_o), выполняется условие f(x_o,y_o)>f(x_,y) и f(x_o,y_o)<f(x_,y); ρ-окрестность можно представить множеством точек M(x,y)? Координаты которых удовлетворяют условию где ρположительное достаточно малое число. Максимумы и минимумы функции называются экстремумами, аM_o(x_o,y_o) – экстремальной точкой.

Достаточные условия экстремума функции z= f(x,y) в стационарной точке M_o(x_o,y_o) записываются след.образом:

• ∆>0 – экстремум есть, при этом, если A>0 (или C>0 при A=0), в точке M_o(x_o,y_o) функция имеет минимум, а если A<0 (или C<0 при A=0) – максимум;

• ∆<0 – экстремума нет;

• ∆=0 – требуются дополнительные исследования.