10.2 Определение скоростей точек плоской фигуры

Движение плоской фигуры слагается из поступательного движения, когда все точки фигуры движутся со скоростью полюсаА, и из вращательного движения вокруг этого полюса (рис. 3.4). Скорость любой точкиМфигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

Рисунок 3.4

Действительно, положение точки Мпо отношению к осямОхyопределяется радиусом – вектором, где- радиус-вектор полюсаА,=- радиус-вектор, определяющий положение точкиМотносительно, перемещающихся вместе с полюсомАпоступательно. Тогда

.

есть скорость полюсаА,равна скорости, которую точкаМполучает при, т.е. относительно осей, или, иначе, при вращении фигуры вокруг полюсаА. Таким образом следует, что

.

(39)

При этом скорость , которую точкаМполучает при вращении фигуры вокруг полюсаА, определится так

,

(40)

где ω– угловая скорость фигуры.

Рисунок 3.5

Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса.Модуль и направление скоростинаходятся построением соответствующего параллелограмма (рис. 3.5).

10.3. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Одним из простых способов определения скоростей точек плоской фигуры (или тела движущегося плоскопараллельно) является теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.

Рисунок 3.6

Рассмотрим какие-нибудь две точки АиВплоской фигуры (или тела) (рис.3.6). Принимая точкуА за полюс получаем, что. Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную поАВ, и учитывая, что векторперпендикуляренАВ, находим

,

(41)

и теорема доказана. Заметим, что этот результат ясен и из чисто физических соображений: если равенство не будет выполняться, то при движении расстояние между точкамиАиВдолжно изменяться, что невозможно – тело абсолютно твердое. Поэтому это равенство выполняется не только при плоскопараллельном, но и при любом движении твердого тела.

10.4. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на понятии о мгновенном центре скоростей.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени tсуществует и притом единственная. Пусть в момент времениtточкиА иВплоскости фигуры имеют скоростии, непараллельные друг другу (рис. 3.7.). Тогда точкаР, лежащая на пересечении перпендикуляровАак векторуиВbк вектору, и будет мгновенным центром скоростей, так как.

Рисунок 3.7

В самом деле, если , то по теореме о проекциях скоростей вектордолжен быть одновременно перпендикулярен иАР (так как), иВР(так как), что невозможно. Из этой же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.

Если теперь в момент времени tвзять точкуРза полюс. То скорость точкиАбудет

,

так как =0. Такой же результат получается для любой другой точки фигуры. Тогда,скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей.При этом

();()

(42)

и так для любой точки фигуры.

Из этого следует еще, что и, тогда

=,

(43)

т.е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстоянию от мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам:

1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей , например, и каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры.

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой её точки В.

3. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждой момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к её расстоянию от мгновенного центра скоростей Р:

.

(44)

Найдем, еще другое выражение для ωиз равенствиследует, чтои, откуда

.

(45)

Рассмотрим некоторые частные случаи определения МЦС, которые помогут решать теоретической механики.

1. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, то точка Ркатящегося тела, касающаяся неподвижной поверхности (рис. 3.8), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (), и следовательно, является мгновенным центром скоростей.

Рисунок 3.8

2. Если скорости точек АиВплоской фигуры параллельны друг другу, причем линияАВне перпендикулярна(рис.3.9,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек //. При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что, т.е., в этом случае фигура имеет мгновенное поступательное движение.

3. Если скорости точек А иВплоской фигуры // друг другу и при этом линияАВперпендикулярна, то мгновенный центр скоростейРопределяется построением (рис. 3.9,б).

Рисунок 3.9

Справедливость построений следует из . В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центраРнадо кроме направлений знать еще и модули скоростейи.

4. Если известны вектор скорости какой-нибудь точкиВфигуры и её угловая скоростьω, то положение мгновенного центра скоростейР, лежащего на перпендикуляре к(см. рис. ?), можно найти из равенства, которое дает.