Глава 13. Сложное движение тела

13.1. Сложение поступательных движений.

13.2. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей.

13.3. Цилиндрические зубчатые передачи.

13.4. Сложение вращений вокруг пересекающихся осей.

13.5. Сложение поступательного и вращательного движений. Винтовое движение.

13.1. Сложение поступательных движений

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является поступательным со скоростью , а переносное движение тоже поступательное со скоростью. Тогда все точки тела в относительном движении будут иметь скорость, а в переносном -. По теореме сложения скоростей все точки тела в абсолютном движении имеют одну и ту же скорость, т.е. абсолютное движение тоже будет поступательным.

Итак, при сложении двух поступательных движений со скоростями ирезультирующее движение также будет поступательным со скоростью.

13.2. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей

Рассмотрим случай, когда относительное движение тела является вращением с угловой скоростью вокруг оси, укрепленной на кривошипеba(рис. 6.1.а), а переносное – вращением кривошипаbaвокруг оси, параллельной оси, с угловой скоростью. Тогда движение тела будет плоскопараллельным по отношению к плоскости, перпендикулярной осям. Здесь возможны три случая.

Рисунок 6.1

1. Вращения имеют одинаковые направления.Изобразим сечениеSтела плоскостью, перпендикулярной осям (рис. 6.1,б), следы осей в сеченииS обозначим буквамиА иВ. ТочкаА,как лежащая на оси, получает скорость только от вращения вокруг оси, следовательно,. Точно так же. При этом векторыипараллельны друг другу и направлены в разные стороны, Тогда точкаСявляется мгновенным центром скоростей (), а, следовательно, ось, параллельная осями, являетсямгновенной осью вращения тела.

Для определения угловой скорости абсолютного вращения тела вокруг осии положения самой оси, т.е. точкиСзапишем

, откуда. Это видно из свойства пропорции. Подставляя в эти равенства, получим окончательно:

.

(80)

Таким образом, если тело участвует одновременно в двух направленных в одну сторону вращениях вокруг параллельных осей, то его результирующее движение будет мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью , вокруг мгновенной оси, параллельной данным. Положение этой оси определяется пропорциями

.

С течением времени мгновенная ось вращения меняет свое положение, описывая цилиндрическую поверхность.

2. Вращения направлены в разные стороны.Изобразим сечениеSтела (рис. 6.2) и

Рисунок 6.2

Допустим для определенности, что ,тогда, используя рассуждения предыдущего случая, найдем, что скорости точекАиВ будут численно равны:; при этомипараллельны друг другу и направлены в одну сторону. Тогда мгновенная ось вращения проходит через точкуС, причем

и.

Этот результат получается из свойства пропорции. Подставляя в эти равенства значения , найдем:

.

(81)

В этом случае результирующее движение также является мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью вокруг оси, положение которой определяется пропорциями

.

3. Вращения направлены в разные стороны(пара вращений) (рис. 6.3), но по модулю. Такая совокупность вращений называетсяпарой вращений, а векторыиобразуютпару угловых скоростей. В этом случае получаем, что. Тогда мгновенный центр скоростей находится в бесконечности и все точки тела в данный момент времени имеют одинаковые скорости.

Рисунок 6.3

Следовательно, результирующее движение тела будет поступательным(илимгновенно поступательным) движением со скоростью, численно равнойи направленной перпендикулярно плоскости, проходящей через векторыи. Направление вектораопределяется так же, как в статике определялось направление моментапары сил. Тогда можно сказать:пара вращений эквивалентна поступательному(илимгновенно поступательному)движению со скоростью , равной моменту пары угловых скоростей этих вращений.

Примером такого движения является поступательное движение велосипедной педали относительно рамы велосипеда.