11.2 Скорости и ускорения точек тела

Рассмотрим скорости и ускорения точек тела, движущегося вокруг неподвижной точки. Так как при этом движении в каждый момент времени тело имеет мгновенную ось вращения ОР, вокруг которой происходит поворот с угловой скоростью(рис. 4.5), то

Рисунок 4.5

вектор скорости какой-нибудь точки Мтела будет определяться равенством

,

(60)

где - радиус-вектор, проведенный в точкуМиз неподвижной точкиО. Направлен векторперпендикулярно плоскостиМОР, проходящей через точку М и ось ОРв сторону поворота тела, т.е. куда указывает стрелка. Численно

,

(61)

где h=MC– расстояние точкиМдо мгновенной оси вращения телаОР, вдоль которой направлен вектор.

Геометрически скорость любой точки Мтела в данный момент времени можно найти, зная в этот момент скоростькакой-нибудь точкиАтела и направление скоростидругой точкиВэтого тела. Пустьи направлениеизвестны. Проведем тогда через точкуАплоскость1, перпендикулярную вектору. Как показано (рис. 4.6), мгновенная осьОР должна лежать в этой плоскости. Но одновременно осьОРдолжна лежать в плоскости2, проведенной через точкуВперпендикулярно вектору. Следовательно, прямая, по которой пересекутся эти плоскости, и будет мгновенной осью вращенияОР. Теперь, определив расстояниеhточкиАот осиОР, по формуленайдем угловую скорость тела в данный момент вре-

Рисунок 4.6

мени: . После этого значение скоростилюбой точкиМтела находится по формуле, а векторбудет направлен перпендикулярно плоскостиОМР.

В частном случае, когда известно, что скорость какой-то точки тела равна в данный момент времени нулю, прямая, проходящая через эту точку и неподвижную точку Отела, будет мгновенной осью вращения и расчет существенно сократится.

Аналитически скорость определяется по ее проекциям на какие-нибудь координатные оси. Найдем проекции векторана осиOxyz, жестко связанные с телом и движущиеся с ним (см. рис. 4.4); эти оси имеют то преимущество, что в них координатыx, y, zточкиМбудут величинами постоянными. Так как, то

=.

Отсюда, разлагая определитель по элементам первой строки и учитывая, что и что, следовательно, коэффициенты прив этом разложении должны равнятьсясоответственно, получим

Эти формулы, как и формула (60), называют формулами Эйлера.

В частном случае формулы (62), конечно справедливы и при вращательном движении тела вокруг неподвижной оси z. Так как при этоми, то для такого случая

.

Вектор ускорения точки Мопределим как производную вектора скорости по времени, т.е. дифференцируя по времени равенство; в результате чего получим. Так как=, а, то окончательно

.

(63)

Первое слагаемое этого равенства называют вращательной составляющей ускорения,обозначим её. Векторнаправлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точкуМи вектор(рис. 4.7), в ту сторону, куда указывает дуговая стрелка,

Рисунок 4.7

а по модулю

,

где - расстояние от точкиМдо вектора.

Второе слагаемое называют осестремительной составляющей ускорения, обозначим её. Векторнаправлен как вектор векторного произведения векторов(т.е. перпендикулярно одновременно двум векторам – и, и), что дает направление вдольМС, т.е. по перпендикуляру, опущенному из точкиМна мгновенную ось вращенияОР, вдоль которой направлен вектор. По модулю^, так как.

Заметим, что в отличие от результатов, полученных для вращающегося тела, здесь (при сферическом движении тела) не будет вектором касательного ускорения точкиМ(по касательной направлен вектор, а направление векторабудет вообще другим); следовательно, и векторне будет вектором нормального ускорения точкиМ.

Таким образом, формула (63) примет вид

.

Это равенство выражает теорему Ривальсаоб ускорении точки тела, совершающего сферическое движение:ускорение точки тела, вращающегося вокруг неподвижной точки, равно векторной сумме вращательного и осестремительного ускорений.

В общем случае вращательное и осестремительное ускорения не перпендикулярны друг другу, следовательно, модуль ускорения точки, как диагонали параллелограмма ускорений, вычисляют по формуле

.