10.5. Определение ускорений точек плоской фигуры

Покажем, что ускорение любой точки Мплоской фигуры (также как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точкиМпо отношению к осямОхy(рис. 3.4) определяется радиус-вектором, где. Тогда

, т.к.;, то

.

(46)

Значение , как ускорение точки вращающегося тела, определяется как

,,

(47)

где ω иε– угловая скорость и угловое ускорение фигуры, а уголμ – угол между вектороми отрезкомАМ.

Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорения какой-нибудь точки А, принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении вокруг этого полюса.Модуль и направление ускорениянаходятся построением соответствующего параллелограмма.

Однако вычисление с помощью параллелограмма усложняет расчет, так как предварительно надо будет находить значение углаμ, а затем – угла между векторамии. Поэтому при решении задач удобнее векторзаменить на его касательнуюи нормальнуюсоставляющие и записать

+.

(48)

При этом вектор направленАМв сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно замедленное; векторвсегда направлен от точкиМк полюсуА.

Численно же

;.

(49)

Если полюс Адвижется не прямолинейно, то его ускорение можно тоже представить как сумму касательнойи- нормальной. Тогда

++.

(50)

Наконец, когда точка Мдвижется криволинейно и её траектория известна, тов левой части уравнения можно заменить наи. Этими формулами пользуются при решении задач.

Глава 11. Движение твердого тела вокруг неподвижной точки и движение свободного твердого тела

11.1. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку.

11.2. Скорости и ускорения точек тела.

11.3. Общий случай движения свободного тела.

11.1. Движение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку

Рассмотрим движение твердого тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной. При таком движении тела все другие его точки движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. По этой причине движение тела вокруг неподвижной точки называют ещё сферическим движением тела.

Примером сферического движения твердого тела может служить движение волчка, имеющего неподвижную точку.

Рассмотрим движение твердого тела по отношению к неподвижной системе отсчета , у которой точкаОсовпадает с неподвижной точкойОтела (рис. 4.1). Положение тела по отношению к этой системе отсчета можно определить следующим образом. С

Рисунок 4.1

движущимся телом жестко скрепим систему осей Oxyz. Теперь для определения положения тела следует задать положение подвижной системы осейOxyzпо отношению к неподвижной системе отсчета. Для этой цели Эйлер предложил использовать три угловые координаты: угол собственного вращения, угол прецессии, угол нутации.

Прямая ОК,вдоль которой пересекаются плоскостиOxyи, называетсялинией узлов.Тогда положение тела по отношению к осямможно определить по положению трехгранникаOxyz, а сними и самого тела можно определить углами (углами Эйлера):

(51)

Тогда φ – угол собственного вращения;ψ– угол прецессии;θ – угол нутации.Положительные направления отсчета углов показаны на рис. 4.1 дуговыми стрелками.

Углы Эйлера являются независимыми параметрами (координатами), характеризующими положение тела с одной неподвижной точкой. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимости

.

(52)

Эти уравнения, определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения тела вокруг неподвижной точки.

Произвольное движение тела, при котором изменяются величины углов φ,ψ,θ, представляется как совокупность трех движений: 1) вращение вокруг осиOz(собственное вращение) с угловой скоростью; 2) вращение вокруг оси(прецессия) с угловой скоростью; 3) вращение вокруг линии узловОК(нутация) с угловой скоростью. Векторыэтих угловых скоростей направлены соответственно по осям Oz,иОК(рис. 4.2).

Рисунок 4.2

Поскольку при движении тела изменяются все три угла, движение тела представляет собой вращение с угловой скоростью , равной геометрической сумме названных угловых скоростей. Таким образом,

;

ось этого вращения ОР, вдоль которой направлен вектор, при движении меняет свое направление в пространстве, но проходит все время через неподвижную точкуО. По этой причиненазываютмгновенной угловой скоростью, а осьОР–мгновенной осью вращения.

Процесс движения тела вокруг неподвижной точки можно представить как последовательность элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения.

Мгновенная ось представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент времени равны нулю.

Для определения вектора найдем его проекции на подвижные осиOxyz(рис.4.3). Векторможно представить в виде

Рисунок 4.3

,

(53)

где численно

(54)

Проектируя обе части равенства (53) на оси x, y, z, получим:

,,.

(55)

Проекции векторов инаходим сразу [см. рис. 4.3 и обозначения (54)]:

,;,,.

Для определения проекций вектора проведем через осииплоскость, которая пересечется с плоскостьювдоль линииOL. так как линияОК перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна и линииOL(а. Тогда, проектируя векторна линиюOL, а эту проекцию в свою очередь на осиОх иOy, получим:

,,.

Подставляя все вычисленные проекции в правые части равенств (55), найдем окончательно

(56)

Уравнения (56) называются кинематическими уравнениями Эйлера. Они определяют проекции вектора угловой скорости телана подвижные осичерез углы Эйлера; тем самым определяется и вектор.

Аналогично можно найти проекции вектора на неподвижные оси. Соответствующие формулы имеют вид

(57)

При сферическом движении тела положение мгновенной оси вращения со временем изменяется, а, следовательно, изменяется не только модуль, но и направление вектора угловой скорости.

Изменение вектора характеризуется векторной величиной

,

(58)

называемой угловым ускорением тела в данный момент времени или мгновенным ускорением.

При изменении вектора его конецАбудет описывать в пространстве некоторую кривуюAD, являющуюся годографом вектора(рис. 4.4). Тогда сравнивая выражение углового ускоренияс равенством, приходим к выводу, что ускорение

Рисунок 4.4

можно вычислить как скорость, с которой конец вектораперемещается вдоль кривойAD. В частности, направлениесовпадает с направлением касательной к кривойADв соответствующей точке. Следовательно, в данном случае, в отличие от случая вращения вокруг неподвижной оси, направление векторане совпадает с направлением вектора.

Векторы иявляются основными кинематическими характеристиками движения тела, имеющего неподвижную точку. Их можно определить аналитически, зная уравнения движения (52).

Значения можно найти и геометрически.

Используя равенства (57), можно определить проекции на неподвижные оси вектора. Так как значениедается формулой (58), то

.

(59)

Эти проекции и определяют вектор . Таким образом, зная уравнения движения (52), можно по полученным формулам найтии.