9.2. Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси

Вращательным движением твердого тела вокруг неподвижной оси называется такое его движение, при котором какие – нибудь две точки, принадлежащие телу (или неизменно связанные с ним), остаются во все время движения неподвижными(рис. 2.2).

Рисунок 2.2

Проходящая через неподвижные точки А иВпрямая называетсяосью вращения.Так как расстояние между точками твердого тела должны оставаться неизменными, то очевидно, что при вращательном движении все точки, принадлежащие оси будут неподвижны, а все остальные будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси. Для определения положения вращающегося тела проведем через ось вращения, вдоль которой направлена осьAz, полуплоскостьІ– неподвижную и полуплоскостьІІврезанную в само тело и вращающуюся вместе с ним. Тогда положение тела в любой момент времени однозначно определится взятым с соответствующим знаком угломφ между этими плоскостями, который назовемуглом поворота тела. Будем считать уголφ положительным, если он отложен от неподвижной плоскости в направлении против хода часовой стрелки (для наблюдателя, смотрящего с положительного конца осиAz), а отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять уголφбудем в радианах. Чтобы знать положение тела в любой момент времени, надо знать зависимость углаφот времениt, т.е.

.

(25)

Это уравнение выражает закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость ωи угловое ускорениеε.

9.2.1. Угловая скорость и угловое ускорение тела

Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота φ с течением времени, называется угловой скоростью.

Если за промежуток времени тело совершает поворот на угол, то численно средней угловой скоростью тела за этот промежуток времени будет. В пределе приполучим

или.

(26)

Таким образом, числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени.

Правило знаков: когда вращение происходит против хода часовой стрелки, ω>0, а когда по ходу часовой стрелки, тоω<0.

В качестве единицы измерения обычно применяют или, так как радиан – величина безразмерная,.

В теоретических выкладках удобнее пользоваться вектором угловой скорости , модуль которого равени который направлен вдоль оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно против хода часовой стрелки. Этот вектор сразу определяет и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости с течением времени, называется угловым ускорением тела.

Если за промежуток времени приращение угловой скорости равно, то отношение, т.е. определяет значение среднего ускорения вращающегося тела за время.

При стремлении получаем величину углового ускорения в моментt:

или.

(27)

Таким образом, числовое значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела во времени.

В качестве единицы измерения обычно применяют или, что тоже,.

Если модуль угловой скорости со временем возрастает, вращение тела называется ускоренным, а если убывает, -замедленным.Когда величиныω иεимеют одинаковые знаки, то вращение будет ускоренным, когда разные – замедленным.По аналогии с угловой скоростью угловое ускорение также можно изобразить в виде вектора, направленного вдоль оси вращения. При этом

.

Если тело вращается ускоренно направление совпадает с, и противоположнопри замедленном вращении.

Если угловая скорость тела остается во время движения постоянной (ω=const), то вращение тела называетсяравномерным.

Из имеем. Отсюда, считая, что в начальный момент времениугол, и беря интегралы слева отдо, а справа от 0 доt, получим окончательно

.

(28)

При равномерном вращении, когда =0,и.

Скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n об/мин. Найдем зависимость междуn об/мин иω1/с. При одном обороте тело повернется на 2π, а приnоборотах на 2π n; этот поворот делается за 1 мин, т.е.t=1мин=60с. Из этого следует, что

.

(29)

Если угловое ускорение тела во все время движения остается постоянным (ε=const), то вращение называетсяравнопеременным.

В начальный момент времени t=0 угол, а угловая скорость(- начальная угловая скорость).;=ε. Интегрируя левую часть отдо, а правую от 0 доt, найдем

,

(30)

если заменить , то=или, вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного вращения

.

(31)

Угловая скорость ω этого вращения . Если ω и ε имеют одинаковые знаки, вращение будетравноускоренным, а если разные –равнозамедленным.