8.5. Скорость и ускорение точки при координатном способе задания движения

8.5.1. Скорость точки

Пусть заданы уравнения движения точки (рис. 1.5):

.

Рисунок 1.5

Обозначим орты осей координат . Проведем из начала координатОв движущуюся точкуМрадиус-вектор. Согласно рис. 1.5

или.

Скорость точки равна производной от радиус-вектора по времени. Найдем эту производную, учитывая, что орты имеют неизменные модули и направления, т.е. постоянны и могут быть вынесены за знак производной:

.

Построив прямоугольный параллелепипед, ребра которого параллельны осям координат, а диагональ совпадает со скорость , получим проекции скоростина оси координат, равные алгебраическим величинам отрезковМа, Мb, Mc.

Тогда разложение скорости на компоненты по осям координат примет вид

.

Сопоставляя обе формулы, определяющие скорость находим

.

(11)

Следовательно, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени.

Пользуясь принятым обозначением производных по времени, имеем

.

(12)

Зная проекции скорости, можно найти её модуль и направление (т.е. углы , которые векторобразует с координатными осями) по формулам

,.	(13)

8.5.2. Ускорение точки

Пусть заданы уравнения движения точки (рис. 1.6):

.

Радиус-вектор движущейся точкиМпредставлен в виде

.

Рисунок 1.6

Так как ускорение точки равно второй производной от радиус-вектора по времени, а векторы постоянны, то имеем

.

Разлагаем ускорение на составляющие по осям координат:

,

где - проекции ускоренияна оси.

Сопоставляя обе формулы, определяющие ускорение, получаем:

(14)

Так как первые производные от координат точки по времени равны проекциям скорости на соответствующие оси, т.е. , то проекции ускорения точки можно представить в другом виде:

.

Таким образом, проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени.

Модуль и направление ускорения найдутся по формулам

,,

(15)

где - углы, образуемые вектором ускорения с координатными осями.

8.6. Скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения

При естественном способе задания движения точки заданы траектория точки и закон движения точки вдоль этой траектории в виде S=f(t).

В этом случае значения иопределяют по их проекциям не на оси системы отсчетаOxyz, а на подвижные осиMτnb, имеющие начало в точкеМи движущиеся вместе с нею( рис.1.7). Эти оси называют осями естественного трехгранника (или скоростными осями) и направлены они следующим образом:

ось Мτ – по касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстоянияS;

Рисунок 1.7

ось Mn– по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории;

ось Mb– перпендикулярно к первым двум так, чтобы она образовала с ними правую систему осей.

Mn– называетсяглавной нормалью, если она лежит в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), перпендикулярная ей нормальMb –бинормалью.