12.2 Теорема о сложении скоростей

Пусть точка Мдвижется вдоль кривойАВ, которая перемещается по отношению к неподвижной системе отсчета(рис. 5.2). Движение точкиМ будем рассматривать

Рисунок 5.2

как сложное, состоящее из относительного движения вдоль кривой АВи переносного движения – движения кривойАВпо отношению к системе. На рисунке криваяАВи точкаМна ней соответствуют моменту времениt, а криваяи точкана ней соответствуют моменту времени, причем.

Точка Мза промежуток временисовершит абсолютное перемещение. Переносным перемещением точкиМбудет перемещение точкиmкривойАВ, с которой в момент времениtсовпадает точкаМ, т.е.. Относительным перемещением точкиМявляется перемещение вдоль траекторииАВ, определяемое на кривойАВвекторома на кривойвектором, причем. Из векторного треугольникаимеем. Деля обе части этого уравнения наи переходя к пределу, получим

.

По определению =;.

При криваяАВстремится совпасть с кривой, аси поэтому

=.

В результате находим, что

.

(68)

Это равенство выражает теорему о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей.

Вектор определяется диагональю параллелограмма, построенного наи, как на сторонах.

Модуль абсолютной скорости

.

(69)

12.3. Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса)

Найдем зависимость между относительным, переносным и абсолютным ускорениями точки.

Абсолютное ускорение точки в сложном движении определим, продифференцировав по времени, т.е.

.

(70)

Следует обратить внимание на то, что при абсолютном движении изменение каждого из векторов слагается из изменений при относительном и переносном движениях. Учитывая это можно записать

,

(71)

где в индексе после скобок указан тот вид движения, при совершении которого изменяется вектор, стоящий внутри скобок.

Но по определению относительное ускорение характеризует изменение относительной скорости только при относительном движении; движение осейOxyz, т.е. переносное движение при этом во внимание не принимается. Поэтому

.

(72)

В свою очередь, переносное ускорение характеризует изменение переносной скорости только при переносном движении, поэтому

.

(73)

Другие два слагаемых правой части равенства образуют так называемое кориолисово ускорение точки

.

(74)

Величина , характеризующая изменение относительной скорости точки при переносном движении и изменение переносной скорости точки при её относительном движении, называетсяповоротным,или кориолисовым, ускорением точки.

Таким образом, получаем

.

(75)

Это равенство выражает теорему о сложении ускорений (теорема Кориолиса): при сложном движении ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и поворотного, или кориолисова ускорений.

Найдем для вычисления формулу, вытекающую из равенства (74).

Начнем с определения. При рассматриваемом переносном движении вектор, направленный по касательной кривойАВ, переместится вместе с этой кривой поступательно ( придет в положение, рис. 5.3) и одновременно повернется вокруг точки

Рисунок 5.3

до положения. В результате векторполучит в переносном движении приращение, где- скорость, с которой перемещается точка bпри повороте векторавокруг точки. Так как этот поворот происходит с угловой скоростью, то по формуле. В результате получаеми

.

(76)

Теперь определим. Скоростьравна скорости той неизменно связанной с подвижными осями точкиmкривойАВ, с которой в данный момент времени совпадает точкаМ(рис. 5.4). Если точкуО принять за полюс и обозначить черезвектор, то.

Рисунок 5.4

Совершив за промежуток времени dtотносительное перемещение, точка придет в положение, для которогои

.

Следовательно, вследствие того, что точка совершает относительное перемещение , векторполучает приращение,

откуда

.

(77)

Тогда согласно (74) получим

.

(78)

Таким образом, кориолисово ускорение равно удвоенному произведению переносной угловой скорости (угловой скорости подвижной системы отсчета) на относительную скорость точки.

Модуль кориолисова ускорения, если угол между векторами иобозначить черезα, будет равен

.

(79)

Направлен вектор так же, как и вектор, т.е. перпендикулярно плоскости, проходящей через векторыи, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещениесвидно происходящим против хода часовой стрелки (рис. 5.5).

Рисунок 5.5