Доказательство.

В силу условия теоремы и признака мажорации для числовых рядов числовой ряд сходится. Запишем условие Коши для этого ряда:

. Поскольку , то ряд удовлетворяет равномерному условию Коши, а следовательно, равномерно сходится.

Тождество Абеля, известное для чисел, запишем для функций: . Оно является источником получения признаков равномерной сходимости функциональных рядов.

Теорема 3. (О равномерной расходимости функциональных рядов, связанных преобразованием Абеля)

Пусть последовательность равномерно сходится. Тогда ряды (1) и (2) одновременно равномерно сходятся или нет.

Доказательство.

Пусть ряд (2) равномерно сходится. Согласно теореме о линейности равномерного предела и тождеству Абеля, ряд (1) равномерно сходится. Аналогично, ряд (2) равномерно сходится, если ряд (1) является равномерно сходящимся.

Теорема 4.

Если для любого последовательность монотонна и , то ряд равномерно сходятся.

Доказательство.

Для любого имеет место

Следовательно, ряд (2) удовлетворяет равномерному условию Коши, а поэтому равномерно сходится. Теорема доказана.

Теорема 5. (Признак Абеля)

Пусть при любом монотонная последовательность. Если ряд сходится равномерно и , то ряд равномерно сходится.

Доказательство.

Пусть . Положим , . По условию теоремы . Поскольку , , то ряд сходится равномерно. Так как , то сходится равномерно, и по теореме 3 ряд сходится равномерно. Осталось заметить, что . Теорема доказана.

Теорема 6 (Признак Дирихле)

Пусть при любом монотонная последовательность. Если и , то ряд равномерно сходится.

Доказательство.

Положим , . По условию теоремы . Так как , то согласно теореме 4 ряд равномерно сходится. Кроме того, . По теореме 3 ряд сходится равномерно.

Теоремы о непрерывности, интегрируемости и дифференцируемости предела функциональной последовательности можно перевести в термины функциональных рядов.

Теорема 7

Пусть при любом непрерывны в точке (на множестве Х). Если ряд сходится равномерно, то его сумма непрерывна в точке (на множестве Х).

Теорема 8

Пусть все , непрерывны на . Если ряд равномерно сходится, то его можно почленно интегрировать :

(*), полученный при этом ряд (*) равномерно сходится на . В частности .

Теорема 9

Пусть все , непрерывно дифференцируемы на . Если в некоторой точке ряд сходится, а ряд сходится равномерно, то ряд сходится равномерно и производная суммы при любом .