Доказательство.

Очевидно, . Так как , , то для доказательства теоремы достаточно доказать, что , .

Так как и , то существует такой номер , что ,. Поэтому . Аналогично . Наконец, . Правая часть неравенства имеет коечный предел, равный , и поэтому ограничена. В силу неравенств .

В теоретических исследованиях полезен критерий Коши. В связи с этим дадим

Определение Последовательность функций называется равномерно фундаментальной, если для любого числа существует номер , такой, что для всех и .

Это условие можно переписать в эквивалентной форме .

Последовательность чисел можно рассматривать как частный случай последовательности постоянных функций, при этом понятия фундаментальности и равномерной фундаментальности совпадают. Точно также совпадают понятия сходимости и равномерной сходимости.

Ответ на вопрос о связи между равномерной сходимостью последовательности функций дает

Теорема. (критерий Коши)

Последовательность функций равномерно сходится тогда и только тогда, когда она равномерно фундаментальна.

Доказательство.

Пусть , . Найдем номер такой, что для всех . Если и то , то есть последовательность равномерно фундаментальна.

Обратно, пусть последовательность равномерно фундаментальна, . Найдем номер такой, что для всех и любых . Тогда для любого и, следовательно, числовая последовательность фундаментальна. Согласно критерию Коши сходимости числовой последовательности для любого , то есть последовательность функций сходится точечно к функции . Вернемся к неравенству и перейдем в нем к пределу при . Тогда для всех , и, значит, и . Итак, для всех , то есть . Теорема доказана.

Сравним еще с одной точки зрения точечную и равномерную сходимости последовательностей. Для этого с помощью неравенств запишем свойство :

.

Аналогично, :

.

Внимательно рассматривая заключительные формы записи свойств точечной и равномерной сходимости, видим, что различие заключено в правиле выбора числа . В случае точечной сходимости число выбирается после того, как известны и и может зависеть от и от . В случае равномерного предела число выбирается после того, как известно только и не известно . В последнем случае обычно говорят, что число должно быть выбрано независимо от , то есть равномерно относительно .

§3. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость предела

Теорема 1. (о непрерывности предела)

Пусть все функции , непрерывны в точке , при всех . Если , то функция непрерывна в точке .

Доказательство.

Имеем для всех ,

(3.1)

Пусть . Так как , то . Найдется номер такой, что для всех . В частности, .

Так как функция непрерывна в точке , то найдется окрестность точки такая, что при всех . В силу неравенства (3.1) при для всех . По определению Коши функция непрерывна в точке .

Теорема 2.

Пусть все функции , непрерывны на отрезке . Если , то равномерно на . В частности (при )

Доказательство.

Согласно теореме 1 функция непрерывна на , а, следовательно, интегрируема. Поскольку при , то , где правая часть не зависит от и стремится к нулю при . Это и доказывает теорему.

Теорема 3.

Пусть все функции , непрерывно дифференцируемы на . Если последовательность сходится в некоторой точке , а последовательность , то последовательность тоже сходится равномерно к некоторой функции и при всех

Доказательство.

Поскольку () непрерывны, то они интегрируемы, причем , (*). По условию существует предел , который мы обозначаем через А. Так как , то в силу теоремы 1 непрерывна на и равномерно на (см. т.2). Но тогда правая часть равенства (*) равномерно на стремится к некоторой функции , определяемой равенством (**). Таким образом . Если учесть, что непрерывна на , то из равенства (**) следует, что имеет производную на , равную . Теорема доказана.

§ Функциональные ряды

Определение 1 Последовательность функций называется функциональным рядом, если существует такая последовательность функций , что при всех .

Функциональный ряд обозначим символом . Функция называется n-частичной суммой ряда , а - его n-членом.

Определение 2 Поточечной суммой ряда на множестве Х называется поточечный предел последовательности , если он существует и конечен, а ряд называют поточечно сходящимся.

Поточечную сумму обозначим символом .

Отметим, что последовательность можно рассматривать как ряд , где . Таким образом, функциональные ряды, подобно числовым, представляют собой особую форму изучения последовательности функций.

Определение 3 Ряд называется равномерно сходящимся, если последовательность сходится равномерно.

Сумму равномерно сходящегося ряда назовем равномерной суммой.

Определение 4 Будем говорить, что ряд удовлетворяет равномерному условию Коши, если последовательность его частичных сумм равномерно фундаментальна, то есть .

Критерий Коши равномерной сходимости функциональных последовательностей сформулируем в терминах теории функциональных рядов.

Теорема 1. (Критерий Коши)

Ряд сходится равномерно тогда и только тогда, когда он удовлетворяет равномерному условию Коши.

Теорема 2. (Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда)

Если при любом и числовой ряд сходится, тогда ряд сходится равномерно.