§1. Последовательность функций, точечный предел
Определение.
Отображение
множества
всех
натуральных чисел в множество функций
называется последовательностью функций.
Значение
отображения
называется
n-членом
последовательности функций.
Последовательность функций чаще
обозначается знаком
или
.
В дальнейшем, не оговаривая специально,
мы будем считать, что все члены
последовательности функций
определены на одном и том же множестве
.
Точка
называется точкой сходимости
последовательности
,
если сходится последовательность чисел
.
Последовательность
называется точечно сходящейся, если
множество всех точек сходимости совпадает
с множеством
.
Точечно сходящаяся последовательность
обозначается знаком
.
Функция
называется точечным пределом
последовательности функций
,
если
для всех
.
Будем писать
,
если
есть точечный предел последовательности
.
Пример
1. Пусть
для всех
и
.
Точка
является точкой сходимости последовательности
потому, что
.
Точка
не является точкой сходимости
последовательности функций потому, что
последовательность
расходится. Такая точка обычно называется
точкой расходимости последовательности
.
Множество всех точек сходимости есть
промежуток
.
Последовательность
не является точечно сходящейся и не
имеет точечного предела.
Пример
2. Пусть
для всех
и
.
Последовательность функций
является точечно сходящейся. Ее точечный
предел есть функция
Данный пример показывает, что точечный пример последовательности непрерывных функций может быть разрывной функцией. Поиски условий непрерывности предела последовательности привели к важному понятию равномерной сходимости последовательности.
§2. Равномерная норма функции, равномерный предел последовательности
Введем понятие равномерной нормы функции, обобщающее понятие модуля числа, для того, чтобы по аналогии с определением предела числовой последовательности дать определение равномерного предела последовательности функций.
Определение.
Величина
.
(
- область определения функции), конечная
или бесконечная, называется равномерной
нормой функции и обозначается
или, короче,
.
Отметим простейшие свойства равномерной нормы функции:
1)
для всех
;
2)
если для любого
можно указать
такое, что
,
то
.
Для
всех
.
По определению верхней грани
,
то есть
.
3)
функция
ограничена;
4)
,
для
всех
;
5)
для любого
.
.
6)
если
,
то
.
Для
всех
.
По свойству верхней грани
,
то есть
.
7)
если
,
то
.
Для
всех
.
По свойству верхней грани
,
то есть
.
Определение.
Функция
называется равномерным пределом
последовательности функций
,
если
при
.
В этом случае будем писать
.
Теорема
2.1. Если
,
то
Доказательство.
Для всех
при
,
то есть
при
.
Из доказанной теоремы вытекает единственность равномерного предела последовательности.
Пример
1. Исследуем на равномерную сходимость
последовательность
для всех
,
.
При каждом
при
.
Далее
.
Следовательно,
.
Пример
2. Исследуем на равномерную сходимость
последовательность
для
.
Имеем
при всех
.
Далее
.
Последовательность функций
не сходится равномерно.
Для равномерной сходимости последовательности функций можно доказать теоремы, аналогичные теоремам для числовых последовательностей. Например,
Теорема 2.2. (линейность равномерного предела)
Если
,
,
для всех
,
то
,
при любом
.
Доказательство.
,
то есть
;
,
то есть
Однако,
не все теоремы о пределах числовых
последовательностей переносятся на
равномерные пределы последовательностей
функций. Это объясняется тем, что модуль
числа не может быть равным
,
а норма функции
равна
,
если функция не ограничена. В частности,
теорема о равномерной сходимости
произведения последовательностей не
верна.
Пример
3. Пусть
для всех
и всех
,
для всех
и всех
.
Имеем
,
то есть
;
то есть
.
Однако,
для всех
,
и
не стремится к 0 при
.
Если мы исключим из рассмотрения функции с бесконечно равномерной нормой, то есть неограниченные функции, то в оставшемся классе ограниченных функций теорема о равномерной сходимости произведения последовательностей верна. Точнее, справедлива
Теорема 2.2. (о равномерном пределе произведения)
Пусть
,
,
,
для всех
.
Тогда
(
подразумевается, что
для всех
).