16, 17, 18 Формулы включения

Формулу разложения можно использовать для расчета переходных процессов при нулевых и ненулевых начальных условиях. Если начальные условия нулевые, то при подключении цепи к источнику постоянного, экспоненциального или синусоидального напряжения для расчета переходных процессов удобно использовать формулы включения, вытекающие из формулы разложения.

1. Формула включения на экспоненциальное напряжение

   ,

   (2)

2. где - входное операторное сопротивление двухполюсника при определении тока в ветви с ключом (при расчете тока в произвольной ветви это операторное сопротивление, определяющее ток в ней по закону Ома);- к-й корень уравнения.

3. Формула включения на постоянное напряжение (вытекает из (2) при)

.

4. Формула включения на синусоидальное напряжение (формально вытекает из (2) прии)

.

В качестве примера использования формулы включения рассчитаем ток в цепи на рис. 2, если в момент времени t=0 она подсоединяется к источнику с напряжением ;;.

В соответствии с заданной формой напряжения источника для решения следует воспользоваться формулой (2). В ней . Тогда корень уравнения. Производнаяи.

В результате

.

19 Дифференциальные уравнения однородной линии, первичные вторичные параметры

Изобразим схему замещения бесконечно малого участка линии в соответствии с физическими представлениями (рис. 7.1).

По второму закону Кирхгофа:

по первому закону Кирхгофа:

.

Рисунок 7.1

После сокращения на dx получим:

 (7.1)

Дифференциальные уравнения линии имеют следующий смысл.

Убыль напряжения на единицу длины линии равна падению напряжения на ее активном сопротивлении и напряжению, которое расходуется на преодоление ЭДС самоиндукции.

Убыль тока на единицу длины линии равна току утечки и току смещения.

Наличие в дифференциальных уравнениях частных производных обусловлено тем, что напряжение и ток зависят и от времени, и от координаты.

 

Вторичные параметры линии

Распределение тока и напряжения вдоль линии зависит от коэффициента распространения волны и волнового сопротивления, которые называются вторичными параметрами где – продольное сопротивление, – поперечная проводимость. Рассмотрим зависимость вторичных параметров от частоты. При  = 0 Частотные характеристики говорят о том, что вследствие зависимости коэффициентов затухания и фазы от частоты сигнал сложной формы, проходя по линии, искажается.

первичные параметры однородной линии, отнесенные к единице длины:

r₀ - сопротивление прямого и обратного проводов [Ом/м];

L₀ - индуктивность петли, образуемой прямым и обратным проводами [Гн/м];

g₀ - проводимость (утечка) между проводами [См/м]; g₀≠1/r₀;

С₀ - ёмкость между проводами [Ф/м];

x - расстояние от начала линии до текущего элемента её длины;

u, i - напряжение и ток в начале выбранного элемента линии dx.

20. Однородная линия как четырехполюсник.

Длинная линия подходит под определение четырехполюсника, как цепи, имеющей два входных и два выходных зажима. Уравнения (11) и (12), переписанные для начала линии имеют вид:

, ,

а основные уравнения четырехполюсника в форме А таковы:

U₁ = AU₂ + BI₂; I₁ = CU₂ + DI₂

Сравнивая одни с другими, замечаем, что, если линию рассматривать как четырехполюсник, то его коэффициенты будут следующие:

A = D = chl, B = Z_Cshl, C = shl/Z_C

Соотношение АD – BC = 1 выполняется, т.к. .

Раз линия является четырехполюсником, то её можно заменить схемой замещения Т- или П-образного вида (рис.5.12) (с учетом того, что линия - это симметричный четырехполюсник, обозначения их элементов несколько иные по сравнению с рис.5.4).

Параметры схем замещения можно рассчитать через коэффициенты:

откуда

21. Линия без потерь.

При высоких частотах R₀<<wL₀ и G₀<<wC₀, поэтому можно пренебречь R₀ и G₀, которые и определяют потери мощности в линии.

Такая линия, в которой R₀ = 0 и G₀ = 0, называется линией без потерь.

Найдем вторичные параметры линии без потерь.

.

В линии без потерь a = 0, 

.

Линия без потерь – частный случай неискажающей линии. Запишем уравнения линии без потерь.

 (7.12)

Таким образом, в уравнения линии без потерь входят тригонометрические, а не гиперболические функции.

Найдем входное сопротивление произвольного отрезка линии без потерь, учитывая, что .

. (7.13)

Входное сопротивление зависит от сопротивления нагрузки и длины отрезка линии.

22. ХХ в линии без потерь.

 Режим холостого хода (). Для комплексных напряжений и тока имеем:

В рассматриваемом режиме напряжение и ток во всех точках линии имеют одинаковую фазу. Действительно, для мгновенного значения напряжения при холостом ходе получим . Согласно этому соотношению, напряжение во всей линии изменяется синфазно. Эти колебания представляют собой так называемые стоячие волны. На рис. 25.4 изображено распределение действующих токов и напряжений для случая, когда l = 2, т. е. длина линии l равна длине волны 

Рис. 25.4

Поскольку в отдельных точках линии, как следует из рисунка, напряжение сохраняет нулевое значение, то по линии в целом отсутствует передача мощности.

Входное сопротивление разомкнутой на конце линии Z_вх = – jZ ctg l имеет место чисто реактивный характер (волновое сопротивление Z линии без потерь — вещественная величина). В зависимости от длины линии входное сопротивление может иметь как емкостный (например, при 0 < l < /2), так и индуктивный характер (/2 < l < ). Если длина разомкнутой на конце линии l равна четверти длины волны (l = /2), то ее входное сопротивление равно нулю.